«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В клетки таблицы размера $3\times 3$ записывают числа 1 или $-1$. Затем число в каждой клетке заменяется на произведение чисел, стоящих во всех соседних клетках (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Докажите, что после нескольких повторений этой операции во…
На плоскости расположены три окружности $C_1$, $C_2$, $C_3$ радиусов $r_1$, $r_2$, $r_3$ — каждая вне двух других, причём $r_1\gt r_2$ и $r_1\gt r_3$. Из точки пересечения внешних касательных к окружностям…
Учитель написал на доске квадратный трёхчлен $x^2+10x+20$. Затем каждый ученик по очереди увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбору один из младших коэффициентов (коэффициент при $x$ или свободный член), но не оба сразу. В результате получился трёхчлен…
При каких целых $m$ и $n$ выполняется равенство
По кругу выписано $n\ge3$ натуральных чисел, причём отношение суммы двух соседей любого из этих чисел к нему самому является натуральным числом. Докажите, что сумма всех таких отношений
На окружности, касающейся сторон угла с вершиной $O$, выбраны две диаметрально противоположные точки $A$ и $B$ (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке $B$ пересекает стороны угла в точках $C$ и…
Из листа клетчатой бумаги размерами $29\times 29$ клеток вырезали 99 квадратиков размерами $2\times 2$ каждый. Докажите, что из него можно вырезать ещё один такой квадратик.
Докажите, что если сумма плоских углов при вершине пирамиды больше $180^\circ$, то каждое боковое ребро пирамиды меньше полупериметра её основания.
Про пять целых чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ известно, что суммы $a+b+c+d+e$ и $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$ делятся на нечётное число $p$. Докажите, что число $$ a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde $$ также делится на…
В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, $\ldots$ каждый член, начиная с седьмого, равен последней цифре суммы шести предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встретятся подряд шесть чисел 0, 1, 0, 1, 0, 1.