Задачи по математике, стр. 88 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задача М1040
Числа 1, 2, $\ldots$‍,‍ $3n$‍‍ произвольным образом разбиты на три группы по $n$‍‍ чисел в каждой. Докажите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так, что одно из них равно сумме двух других.
Задача М1041
На плоскости заданы:
1. четыре,
2. три вершины
правильного пятиугольника. С помощью двусторонней линейки восстановите остальные его вершины. (Двусторонней линейкой можно делать то же, что и обычной линейкой без делений, а также…
Задача М1042
В классе организуется турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учащихся этого класса (из одного, двух и т. д. человек, кроме команды всего класса). Докажите, что каждая команда будет соревноваться с…
Задача М1043
Можно ли разбить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого $n$‍‍ чи́сла $n$‍,‍ $n-50$‍,‍ $n+1987$‍‍ принадлежали трём разным подмножествам?
Задача М1044
Докажите, что из четырёх чисел всегда можно выбрать два числа $x$‍‍ и $y$‍‍ такие, что $$0 \le \dfrac{x-y}{1+xy} \le 1.$$
Задача М1045
В некотором царстве, некотором государстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решает созвать всех жителей к 7 часам вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в…
Задача М1046
В остроугольном треугольнике $ABC$‍‍ угол $A$‍‍ равен $60^\circ$‍.‍ Докажите, что одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведёнными из вершин $B$‍‍ и $C$‍,‍ проходит через центр описанной окружности этого треугольника.
Задача М1047
В шахматном турнире, проводимом в один круг, не менее $\dfrac34$‍‍ всех сыгранных к некоторому моменту партий закончились вничью. Докажите, что в этот момент некоторые два участника набрали одинаковое число очков.
Задача М1050
На отрезке $[-1, 1]$‍‍ выбрано $k$‍‍ различных точек, для каждой посчитано произведение расстояний до остальных $k-1$‍‍ точек и через $S$‍‍ обозначена сумма обратных величин этих $k$‍‍ произведений. Докажите, что
Задача М1051
В левый нижний угол шахматной доски $8\times8$‍‍ клеток поставлено в форме квадрата $3\times3$‍‍ девять фишек. Фишка может перепрыгнуть через любую другую фишку, симметрично отразившись от неё, если соответствующее поле свободно. Можно ли несколькими такими ходами собрать все фишки в…

Задачи по математике‍1036