Докажите, что из $n$ четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого $n$-угольника диагоналями, не более $\dfrac n2$ могут оказаться описанными около окружности. Приведите пример 8-угольника, у которого таких четырёхугольников 4.
Если бы можно было отсечь больше $\dfrac n2$ описанных четырёхугольников, то среди них нашлось бы два соседних, — имеющих две общие стороны. Обозначим их $ABCD$ и $BCDE$ (рис. 1). У каждого из них суммы противоположных сторон равны:
$$
AB+CD=BC+AD,\quad BC+DE=CD+BE.
$$
Отсюда получаем, что $$
AB+DE=AD+BE.\tag{*}
$$
Исходный $n$-угольник выпуклый, поэтому его диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в некоторой точке $P$. По неравенству треугольника
$$
AD+BE=AP+BP+PD+PE\gt AB+DE,
$$
что противоречит (*).
Рис. 1Рис. 2
Чтобы построить нужный 8-угольник, опишем около окружности равнобокую трапецию $A_1A_2A_3A_4$ с углами в $45^\circ$ при основании $A_1A_4$, а затем достроим её до 8-угольника$A_1A_2\ldots A_8$ как показано на рисунке 2. Аналогично строится $n$-угольник, от которого можно отсечь диагоналями $\left[\dfrac n2\right]$ описанных четырёхугольников.
