«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Найдите хотя бы одну пару целых чисел $(x,y)$ такую, что число $$ (x+y)^7-x^7-y^7 $$ делится на $7^7$, а число $(x+y)xy$ не делится на 7.
Для нечётных натуральных чисел $a\lt b\lt c\lt d$ выполнены условия: $ad=bc$; $a+d=2^k$ и $b+c=2^m$, где $k$ и $m$ — некоторые натуральные числа. Докажите, что
Назовём округлением нецелого числа $x$ замену его на одно из двух ближайших целых чисел ($[x]$ или $[x]+1$).
Может ли проекция на плоскость выпуклого многогранника с 6 гранями быть
Биссектрисы $AK$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что если $OK=OM$, то либо углы $A$ и $B$ треугольника равны, либо угол $C$ равен $60^\circ$.
Натуральный ряд 1, 2, 3, $\ldots$ разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на её разность.
Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с
числом сторон?
Докажите, что уравнение $4x^n+(x+1)^2=y^2$ относительно натуральных чисел $x$ и $y$
Про треугольник $ABC$ с длинами сторон $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ известно, что $3\widehat{A}+2\widehat{B}=180^\circ$. Докажите, что $a^2+bc-c^2=0$.