«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Из листа клетчатой бумаги размерами $29\times 29$ клеток вырезали 99 квадратиков размерами $2\times 2$ каждый. Докажите, что из него можно вырезать ещё один такой квадратик.
Докажите, что если сумма плоских углов при вершине пирамиды больше $180^\circ$, то каждое боковое ребро пирамиды меньше полупериметра её основания.
Про пять целых чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ известно, что суммы $a+b+c+d+e$ и $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$ делятся на нечётное число $p$. Докажите, что число $$ a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde $$ также делится на…
В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, $\ldots$ каждый член, начиная с седьмого, равен последней цифре суммы шести предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встретятся подряд шесть чисел 0, 1, 0, 1, 0, 1.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трёх вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвёртой её вершины.
Сумма трёх целых чисел $a$, $b$ и $c$ равна 0. Докажите, что число $2a^4+2b^4+2c^4$ — квадрат целого числа.
В какое наименьшее число цветов нужно раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги, чтобы
Непрерывная и монотонная функция $f$ определена на отрезке $[0;1]$ и принимает значения также на отрезке $[0;1]$. Докажите, что её график можно прикрыть $n$ прямоугольниками площади $\dfrac1{n^2}$ каждый (стороны прямоугольников параллельны…
Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $p(n)$ число разбиений $n$ в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; рис. 2). Количество различных чисел в…
Можно ли в $4n-4$ клеток, расположенных по периметру квадрата $n \times n$ клеток, расставить $4n-4$ последовательных целых чисел (не обязательно положительных) так, чтобы суммы чисел в вершинах каждого прямоугольника, стороны которого параллельны диагоналям…