«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Две касательные к окружности, $CA$ и $CB$, пересекаются в точке $C$ ($A$ и $B$ — точки касания, рис. 1). Вторая окружность проходит через точку $C$, касается прямой $AB$ в точке $B$…
Натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$ удовлетворяют равенству $ab=cd$. Докажите, что число $a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984}$ составное.
Существуют ли на плоскости такие три точки $A$, $B$, $C$, что для любой точки плоскости $P$ хотя бы один из отрезков $PA$, $PB$ и $PC$ имеет иррациональную длину?
На территории страны, имеющей форму квадрата со стороной 1000 км, находится 51 город. Страна располагает средствами для прокладки $11\,000~\text{км}$ шоссейных дорог. Сможет ли она соединить сетью шоссейных дорог все свои города?
Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.
Каждые два из $n$ блоков ЭВМ соединены проводом. Можно ли каждый их этих проводов покрасить в один из $n-1$ цветов так, чтобы от каждого блока отходило $n-1$ проводов разного цвета, если
Докажите, что площадь сечения куба плоскостью, касающейся вписанной в него сферы, не превосходит половины площади грани куба. Рассмотрите случаи, когда это сечение
Про выпуклый четырёхугольник $ABCD$ известно, что окружность с диаметром $AB$ касается прямой $CD$. Докажите, что окружность с диаметром $CD$ касается прямой $AB$ тогда и только тогда, когда прямые $BC$ и…