«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Три многоугольника в пространстве расположены так, что их плоскости пересекаются в одной точке $O$.
Докажите неравенство $$ \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{3}. $$
Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая сыграла с каждой один раз). Докажите, что можно выбрать из них такие четыре команды $A$, $B$, $C$, $D$, что $A$ выиграла у $B$, $C$ и…
Последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$ задаётся условиями $x_1=\dfrac12$, $x_{n+1}=x_n^2+x_n$ ($n=1$, 2, $\ldots$). Найдите целую часть числа $$ \dfrac1{x_1+1}+\dfrac1{x_2+1}+\ldots+\dfrac1{x_{100}+1}. $$
В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $BE$. Докажите, что если $\angle BEA=45^\circ$, то и $\angle EHC=45^\circ$.
Двое играют в шахматы с часами. После того как оба сделали по 40 ходов, часы обоих показывали 2 часа 30 минут.
На «шахматной доске» размером $n\times n$ стоит 20 различных фигур. Известно, что каждая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей.
Из вершины $A$ квадрата $ABCD$ проведены два луча, образующие между собой угол $45^\circ$. Один пересекает сторону $BC$ в точке $E$, диагональ $BD$ — в точке $P$, другой — сторону $CD$ в точке…
Можно ли с помощью операций сложения, вычитания и умножения из многочленов $f(x)$ и $g(x)$ получить $x$, если:
Можно ли в квадрате со стороной 1 расположить два правильных треугольника со сторонами больше $\sqrt{2/3}$, не налегающих друг на друга?