Условие задачи (1984, № 3) Задача М854 // Квант. — 1984. — № 3. — Стр. 37; 1984. — № 6. — Стр. 38—39.
На переговорном пункте установлены автоматы для размена серебряных монет достоинством 10, 15 и 20 копеек, действующие так, как показано на рисунке 1. У Пети был 1 руб. 25 коп. серебряными монетами, и он все их разменял в автоматах на медь. Вася, посчитав сколько каких монет стало у Пети, сказал:
— А я знаю, какие у тебя были серебряные монеты!
Узнайте это и вы.
Изображения страниц
Решение задачи (1984, № 6) Задача М854 // Квант. — 1984. — № 3. — Стр. 37; 1984. — № 6. — Стр. 38—39.
Ответ: 11 монет достоинством 10 копеек и одна — 15 копеек.
Заметим, что две монеты по 15 коп. размениваются так же, как монета 20 коп. и монета 10 коп. А поскольку Вася сумел однозначно восстановить первоначальный набор монет у Пети, в этом наборе было не более одной монеты 15 коп., а значит, была ровно одна такая монета, потому что общая сумма 125 коп. не делится на 10; кроме того, в этот набор не могли входить одновременно монеты по 10 коп. и 20 коп. Следовательно, он мог быть только таким, как указано в ответе
Остаётся ещё доказать, что указанный набор можно восстановить по результатам размена. Действительно, среди меди имеется только одна монета достоинством 1 коп., поэтому в исходном наборе все монеты, кроме одной, должны быть десятикопеечными, а оставшаяся, очевидно, может быть только пятнадцатикопеечной.