Сопоставим многоугольнику $M$ вектор $\overrightarrow{m}$, перпендикулярный плоскости многоугольника и равный по длине площади многоугольника. Тогда площадь проекции $M$ на любую плоскость $\alpha$ равна длине проекции $\overrightarrow{m}$ на прямую $a$, перпендикулярную $\alpha$ (площадь $M$ при проекции умножается на косинус угла между $\alpha$ и плоскостью $M$, а длина вектора $\overrightarrow{m}$ — на косинус угла между вектором и прямой $a$, но эти углы, очевидно, равны; см. рисунок 1).
Отложим от точки $O$ векторы $\overrightarrow{m_1}$, $\overrightarrow{m_2}$ и $\overrightarrow{m_3}$, соответствующие данным многоугольникам; их концы и точка $O$ не лежат в одной плоскости. В силу сказанного выше условию задачи а) удовлетворяет плоскость, проходящая через концы этих векторов, поскольку их проекции на перпендикулярную ей прямую совпадают. А так как длины проекций двух каких-либо векторов $\overrightarrow{m}$ и $\overrightarrow{n}$ на прямую равны тогда и только тогда, когда проекция $\overrightarrow{m}$ совпадает с проекцией $\overrightarrow{n}$ или $-\overrightarrow{n}$, мы можем аналогично построить ещё З такие плоскости, заменяя в тройке векторов $\overrightarrow{m_1}$, $\overrightarrow{m_2}$ и $\overrightarrow{m_3}$ вектор $\overrightarrow{m_2}$, или вектор $\overrightarrow{m_3}$, или оба вместе на противоположные (рис. 2). Ясно, что эти 4 плоскости попарно непараллельны, и при этом любая плоскость, удовлетворяющая условию задачи а), должна быть параллельна одной из них. Таким образом, ответ в задаче б) — 4 плоскости.
