Если $f$ и $g$ — взаимно обратные функции, то уравнения $y=f(x)$ и $x=g(y)$ задают на координатной плоскости $Oxy$ одну и ту же линию — график функции $f$. На этом соображении основано решение как задачи а), так и задачи б).
а) На рисунке 1 изображён график функции $y=tg x$, где $x\in\left[0;\dfrac\pi4\right]$. Ту же линию можно задать уравнением $x=\arctg y$, где $y\in[0;1]$. Поэтому первое слагаемое в левой части доказываемого равенства — это площадь голубой фигуры на рисунке 1, а второе слагаемое, которое можно записать в виде $\int\limits_0^1\arctg y\,dy$, — площадь розовой фигуры. Сумма этих площадей есть площадь прямоугольника, ограниченного осями координат и прямыми $x=\dfrac\pi4$, $y=1$, а эта площадь равна $\dfrac\pi4$.
Рис. 1Рис. 2
б) Если $y=\!\sqrt[\scriptstyle4~]{x^4+1}$, где $x\ge0$, то $y^4=x^4+1$, откуда $x=\!\sqrt[\scriptstyle4~]{y^4-1}$. На рисунке 2 изображён график функции $y=\!\sqrt[\scriptstyle4~]{x^4+1}$, где $x\in[0;3]$. Эта же линия задаётся уравнением $x=\!\sqrt[\scriptstyle4~]{y^4-1}$, где $y\in[1;\!\sqrt[\scriptstyle4~]{82}]$.
Первое слагаемое в левой части доказываемого неравенства — это площадь голубой фигуры на рисунке 2, а второе слагаемое, которое можно представить в виде $\int\limits_1^3\!\sqrt[\scriptstyle4~]{y^4-1}\,dy$, — площадь розовой фигуры. Сумма этих площадей есть площадь квадрата, ограниченного осями координат и прямыми $x=3$, $y=3$, сложенная с площадью $S$ криволинейного треугольника $ABC$, ограниченного графиком $y=\!\sqrt[\scriptstyle4~]{x^4+1}$ и прямыми $y=3$, $x=3$. Следовательно,
$$
\textstyle\int\limits_0^3\!\sqrt[\scriptstyle4~]{x^4+1}\,dx+\int\limits_1^3\!\sqrt[\scriptstyle4~]{x^4-1}\,dx=9+S.
$$
Остаётся доказать, что $S\lt0{,}0001$.
Криволинейный треугольник $ABC$ содержится в прямоугольнике $ABCD$, ограниченном прямыми $x=3$, $y=3$, $x=\!\sqrt[\scriptstyle4~]{80}$, $y=\!\sqrt[\scriptstyle4~]{82}$. Стороны этого прямоугольника равны $\!\sqrt[\scriptstyle4~]{82}-3$ и $3-\!\sqrt[\scriptstyle4~]{80}$. Поэтому неравенство $S\lt S_{ABCD}\lt0{,}0001$ следует из неравенств $\!\sqrt[\scriptstyle4~]{82}\lt3{,}01$ и $\!\sqrt[\scriptstyle4~]{80}\gt2{,}99$, которые можно установить, например, так:
$$
\begin{gather*}
3{,}01^4=((3+0{,}01)^2)^2=(9+0{,}06+0{,}0001)^2\gt(9+0{,}06)^2=81+1{,}08+0{,}0036\gt82;\\
2{,}99^4=((3-0{,}01)^2)^2=(9-0{,}06+0{,}0001)^2\lt(9-0{,}059)^2\lt81-1{,}062+0{,}0036\lt80.
\end{gather*}
$$
