Задачи по математике, стр. 101 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задача М1228
Докажите для любых положительных чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ не больших 1, неравенство $$ \dfrac a{bc+1}+\dfrac b{ca+1}+\dfrac c{ab+1}\le2. $$
Задача М1229
Докажите, что при каждом натуральном $m$‍‍ число
1. $4^m+5$‍;‍
2. $8^m+9$‍;‍
3. $a^m+a+1$‍‍ (где $a$‍‍ — целое и не делится на $8$‍)‍
не является квадратом целого…
Задача М1240
На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 выделен квадрат $ABCD$‍‍ $n\times n$‍‍ клеток. Из вершины $A$‍‍ в $C$‍‍ по линиям сетки проводится случайная ломаная длины $2n$‍.‍ В $n$‍‍ клетках квадрата, случайно расположенных в разных…
Задача М1241
Имеется 1990 кучек, состоящих соответственно из 1, 2, 3, $\ldots$‍,‍ 1990 камней. За один шаг разрешается выбросить из любого множества кучек по одинаковому числу камней. За какое наименьшее число шагов можно выбросить все камни?
Задача М1242
На двух сторонах $AB$‍‍ и $BC$‍‍ правильного $2n$‍‍-угольника взято по точке $K$‍‍ и $N$‍‍ так, что угол $KEN$‍,‍ где $E$‍‍ — вершина, противоположная $B$‍,‍ равен $\dfrac{\pi}{2n}$‍.‍ Докажите, что…
Задача М1243
1. На доске записано уравнение $*x^2+*x+*=0$‍.‍ Первый из двух играющих называет любые три числа, второй расставляет их по своему выбору вместо звёздочек. Может ли первый добиться, чтобы полученное уравнение имело различные рациональные корни, или второй всегда…
Задача М1244
В сенате, состоящем из 30 сенаторов, каждые двое дружат или враждуют, причём каждый враждует ровно с 6 другими. Найдите общее количество троек сенаторов, в которых либо все три попарно дружат, либо все три враждуют друг с другом.
Задача М1245
На плоскости задана точка $O$‍‍ и $n$‍‍ векторов, сумма которых равна $\overrightarrow{0}$‍.‍ Докажите, что можно отложить эти векторы, начав в точке $O$‍,‍ друг за другом в таком порядке, что полученная замкнутая (быть может, самопересекающаяся) ломаная будет…
Задача М1246
Докажите, что в любой бесконечной арифметической прогрессии, члены которой — натуральные числа, найдутся два числа с одинаковой суммой цифр.
Задача М1261
На плоскости расположено 1991 красных, чёрных и жёлтых точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками, причём из каждой точки выходит одинаковое число отрезков. Докажите, что найдётся красная точка, которая соединена и с чёрной, и с жёлтой…

Задачи по математике‍1048