«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Будем говорить, что в цилиндр $\text{Ц}_1$ вписан боком другой цилиндр $\text{Ц}_2$, если две образующие второго цилиндра лежат на основаниях первого, а четыре точки окружностей основания второго — на боковой поверхности первого (рис. 1). Взяв цилиндр $\text{Ц}_1$, у…
На отрезке $[-1, 1]$ выбрано $k$ различных точек, для каждой посчитано произведение расстояний до остальных $k-1$ точек и через $S$ обозначена сумма обратных величин этих $k$ произведений. Докажите, что
В левый нижний угол шахматной доски $8\times8$ клеток поставлено в форме квадрата $3\times3$ девять фишек. Фишка может перепрыгнуть через любую другую фишку, симметрично отразившись от неё, если соответствующее поле свободно. Можно ли несколькими такими ходами собрать все фишки в…
Докажите, что из $n$ четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого $n$-угольника диагоналями, не более $n/2$ могут оказаться описанными около окружности. Приведите пример 8-угольника, у которого таких четырёхугольников 4.
Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, $\ldots$, где каждое число равно сумме двух предыдущих, при $m\gt3$ встретится не менее 4 и не более 5 $m$-значных чисел.
Докажите, что шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или на одной плоскости.
На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих точках не менее 100 дуг, не превосходящих $120^\circ$.
В каждой клетке квадратной таблицы $1987\times1987$ написано число, не превосходящее по модулю 1. В любом квадрате $2\times2$ данной таблицы сумма чисел равна 0. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не превосходит 1987.
Два игрока поочерёдно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие $p$. Правилами игры запрещается писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.
На целочисленной решётке отмечено непустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отмеченного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отмеченных узлов, чем неотмеченных. Докажите, что отмеченных…