«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $d_1$, $d_2$, $d_3$ — попарные разности длин сторон треугольника (по абсолютной величине), $P$ — его периметр. Докажите неравенство $$ d_1d_2+d_2d_3+d_3d_1\le\dfrac{P^2}{4}. $$
Внутри окружности лежит ещё две окружности, касающиеся внешней окружности в точках $A$ и $B$ соответственно и пересекающиеся между собой. Докажите, что если одна из точек пересечения лежит на отрезке $AB$, то сумма радиусов меньших окружностей равна…
Внутри круга радиусом 1990 с центром в начале координат отмечено 555 точек с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два треугольника равной площади с вершинами в этих точках.
Пусть $m$, $n$ и $k$ — натуральные числа, причём $m\gt n$. Какое из двух чисел больше —
Пусть $n$ и $b$ — натуральные числа. Через $V(n;b)$ обозначим число разложений $n$ в произведение (одного или нескольких) сомножителей, каждый из которых больше $b$ (например: $36=6\cdot6=4\cdot9=3\cdot3\cdot4=3\cdot12$, так что $V(36;2)=5$).…
Пусть в прямоугольном треугольнике $AB$ и $AC$ — катеты, $AC\gt AB$. На $AC$ выбрана точка $E$, а на $BC$ — точка $D$ так, что $AB=AE=BD$. Докажите, что треугольник $ADE$ будет…
$n$ чисел ($n\gt1$) называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма этих чисел, делённая на $n-1$. Пусть $a$, $b$, $c$, $\ldots$ — $n$ близких чисел, $S$ — их сумма.…
Докажите, что если $abc=4Rrr_c$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $R$, $r$, $r_c$ — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный. (Вневписанная…
На окружности с центром $O$ расположены точки $A$ и $B$. Точка $P$ находится на меньшей из дуг $AB$, точки $Q$ и $R$ симметричны точке $P$ относительно прямых $OA$ и…
Дана плоскость, пересекающая сферу с центром $O$ по окружности. На сфере по разные стороны от плоскости взяты точки $A$ и $B$, причём радиус $OA$ перпендикулярен данной плоскости. Через прямую $AB$ проводится произвольная…