«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что для $n$ положительных чисел $a_1\ge a_2\ge a_3\ge\ldots\ge a_n$ выполнены неравенства:
Докажите, что:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты две точки $M$ и $N$. Три параллельные прямые, проходящие через точки $M$, $B$ и $N$, пересекают основание $AC$ в…
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — различные попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных $b$, что числа $b+a_1$, $b+a_2$, $\ldots$,…
Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен $x^4+x^3+x^2+x+12=0$?
Многоугольник описан около окружности с центром $O$. Пусть $P$ — центр масс многоугольника, $K$ — центр масс его контура. Докажите, что точки $P$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой, причём $PO=2PK$.…
Каждой вершине правильного пятиугольника приписано некоторое целое число так, что сумма всех пяти чисел положительна. Разрешается проделать следующую операцию: если трём последовательным вершинам приписаны числа $x$, $y$, $z$ и $y\lt0$, то эти…
Пусть $A$ и $B$ — соседние вершины правильного $n$-угольника с центром $O$. Треугольник $XYZ$, равный треугольнику $OAB$, вначале совпадает с ним, а потом движется в плоскости $n$-угольника так, что…
На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество $M$ узлов (точек пересечения линий сетки). Докажите, что всегда можно окрасить некоторые точки множества $M$ в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой линии сетки разность между числом…
На сфере радиуса 1 проведена:
Докажите, что найдётся плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая…