«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Среди $n$ членов арифметической прогрессии удалось выбрать $k$ членов, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Докажите, что $n\ge2^{k-1}$.
Для выпуклого многогранника $M$ обозначим через $S(M)$ сумму площадей его граней, через $P(M)$ — сумму произведений длин всех его рёбер на соответствующие им внешние углы многогранника (внешний угол при данном ребре — это угол между перпендикулярами к…
На плоскости даны прямая $\ell$ и две точки $A$ и $B$ по одну сторону от неё. На прямой $\ell$ выбраны точка $M$, сумма расстояний от которой до точек $A$ и $B$ наименьшая, и точка…
Выписаны $n$ чисел 2, 3, $\ldots$, $n+1$, их всевозможные произведения по два, по три и так далее вплоть до произведения всех $n$ этих чисел. Докажите, что сумма чисел, обратных всем выписанным, равна $\dfrac n2$.…
Окружность отрезает от квадрата четыре криволинейных треугольника (граница каждого состоит из дуги окружности и двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к противоположным углам квадрата, в голубой цвет, два другие — в красный. Докажите, что
Прямоугольная шоколадка разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части. Затем играющие по очереди ломают одну из получившихся частей по некоторому углублению на…
На отрезке $[0;1]$ по очереди отмечаются точки $x_0$, $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$. Для каждой точки $x_k$ ($k=1$, $\ldots$, $n$) измеряется расстояние $d_k$ от неё…
Существует ли такой (невыпуклый) пятиугольник, который можно разрезать на два равных пятиугольника?
Найдите все решения в натуральных числах $x$, $y$ уравнения $x^y-y^x=x+y$.
При каких…