Задачи по математике, стр. 99 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задача М1179
Найдите $a_{1000}$‍,‍ если $a_1=0$‍‍ и при $n=1$‍,‍ 2, 3, $\ldots$‍‍
1. $a_{n+1}=\dfrac n{n+1}(a_n+1)$‍;‍
2. $a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_n+1)$‍;‍
3. $a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{(n+3)(n+4)(n+5)}(a_n+1)$‍.‍
Задача М1201
В парламент Анчурии нужно избрать по одному депутату от каждого из 999 округов с одинаковым числом избирателей. В Анчурии создано три партии $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍,‍ выдвигающие своих кандидатов. Партию $A$‍‍ поддерживает всего 15% избирателей,…
Задача М1210
Имеется кучка из $M$‍‍ спичек и лист бумаги, на котором написано число $M$‍.‍ Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок берёт из кучки или возвращает в кучку от 1 до $k$‍‍ спичек и записывает на листе, сколько спичек стало в…
Задача М1211
Можно ли расположить в пространстве тетраэдр, шар и плоскость таким образом, чтобы площади сечений тетраэдра и шара любой плоскостью, параллельной выбранной, были равны?
Задача М1212
Множество всех целых чисел разбито на попарно непересекающиеся бесконечные арифметические прогрессии с положительными разностями $d_1$‍,‍ $d_2$‍,‍ $d_3$‍,‍ $\ldots$‍‍ Может ли случиться, что $$ \dfrac1{d_1}+\dfrac1{d_2}+\dfrac1{d_3}+\ldots<0{,}9?\tag{*} $$ Рассмотрите два случая:
Задача М1213
Докажите, что если некоторый выпуклый шестиугольник можно разрезать на $N$‍‍ параллелограммов равной площади, то
1. он имеет центр симметрии;
2. число $N$‍‍ делится на 3.
Задача М1214
В некоторых клетках прямоугольной таблицы из $n$‍‍ строк и $m\gt n$‍‍ столбцов расставлены звёздочки так, что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что найдётся такая звёздочка, что в её строке звёздочек больше, чем в её столбце.
Задача М1215
Число 15 можно тремя способами разложить в сумму трёх натуральных чисел так, что все 9 чисел различны: $$15=1+6+8=2+4+9=3+5+7.$$ Для каждого натурального $n$‍‍ обозначим через $k(n)$‍‍ наибольшее число троек натуральных чисел, дающих в сумме $n$‍‍ и состоящих из…
Задача М1216
Найдите углы остроугольного треугольника $ABC$‍,‍ если известно, что его биссектриса $AD$‍‍ равна стороне $AC$‍‍ и перпендикулярна отрезку $OH$‍,‍ где $O$‍‍ — центр описанной окружности, $H$‍‍ — точка пересечения высот…
Задача М1217
Докажите для любого натурального $n$‍‍ равенство $$ \begin{gathered} \dfrac1{n^2}+\left(\dfrac1n+\dfrac1{n-1}\right)^2+\ldots+ \left(\dfrac1n+\dfrac1{n-1}+\ldots+1\right)^2=\\ =2n-\left(1+\dfrac12+\ldots+\dfrac1n\right). \end{gathered} $$

Задачи по математике‍1036