Дынкин Е. Б. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М56
На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. Затем в промежутке между двумя одинаковыми числами пишется единица, а между разными цифрами — нуль, а первоначальные цифры стираются. Доказать, что, сколько бы раз мы ни повторяли этот процесс, мы никогда не…
Задача М57
1. Найти число $k$‍,‍ которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и $k$‍).‍
2. Доказать, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не…
Задача М58
На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. Построить этот треугольник.
Задача М59
Имеется несколько гирь с весами 1 г, 2 г, 3 г, $\ldots$‍,‍ $n$‍‍ г. Их надо разложить на три равные по весу кучки. При каких $n$‍‍ это удастся сделать?
Задача М60
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на две группы так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одной и той же группы содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
Задача М185
На кафтане площадью 1 помещается 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше $\dfrac{1}{2}$‍.‍ Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше $\dfrac{1}{5}$‍.‍

Дынкин Е. Б.‍6

Задачи по математике‍‍