«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
В бесконечной цепочке нервных клеток каждая клетка может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая…
В множестве, состоящем из $n$ элементов, выбрано $2^{n-1}$ подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.
Докажите, что если $$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0,$$ то $$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0. $$
Докажите, что $N$ точек на плоскости всегда можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше $N$ и расстояние между любыми двумя из которых больше 1. (Под расстоянием между двумя кругами понимается расстояние между их…
Докажите, что на плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки.
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате (стороны которого идут по линиям сетки) по модулю не превосходит единицы. Докажите, что тогда существует такое число $c$, что сумма чисел в любом прямоугольнике…
Дана окружность, её диаметр $AB$ и точка $C$ на этом диаметре. Построить на окружности две точки $X$ и $Y$, симметричные относительно диаметра $AB$, для которых прямая $YC$ перпендикулярна к прямой…
Цифры некоторого семнадцатизначного числа записываются в обратном порядке. Полученное число складывается с первоначальным. Доказать, что хотя бы одна из цифр их суммы будет чётной.
Каждая сторона правильного треугольника разбита на $n$ равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбился на $n^2$ маленьких треугольничков (рис. 3). Назовем «цепочкой» последовательность…
Доказать, что для каждого натурального числа $K$ существует бесконечно много натуральных чисел $T$, не содержащих нулей в десятичной записи и таких, что $T$ и $KT$ имеют одинаковые суммы цифр.
Доказать, что из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100.
Попробуйте обобщить эту задачу: докажите, что из любых $2n—1$ чисел можно выбрать $n$, сумма которых делится на $n$, где…
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?
Из цифр 1 и 2 составили пять $n$-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в $m$ разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Доказать, что $$ \frac{2}{5}\le \frac{m}{n}\le \frac{3}{5}. $$
В остроугольном треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$, медиана $BM$, и высота $CH$ пересекаются в одной точке. Доказать, что угол $BAC$ больше $45^\circ$.
На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну цепочку в произвольном порядке. Доказать, что получившееся $444\ 445$-значное число не может быть степенью двойки.
Вершины правильного $n$-угольника покрашены несколькими красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Доказать, что среди этих многоугольников найдется два равных.
Доказать, что если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1.
Пять отрезков таковы, что из любых трёх можно составить треугольник. Доказать, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
В треугольнике $ABC$ через середину $M$ стороны $BC$ и центр $O$ вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая $MO$, которая пересекает высоту $AH$ в точке $E$. Доказать, что…
Два равных между собой прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Доказать, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше $n$ цифр, разбиты на две группы. В первую группу входят все числа с нечётной суммой цифр, во вторую — с чётной суммой цифр. Доказать, что если $1\le k\lt n$, то сумма $k$-x степеней всех чисел…
На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. Затем в промежутке между двумя одинаковыми числами пишется единица, а между разными цифрами — нуль, а первоначальные цифры стираются. Доказать, что, сколько бы раз мы ни повторяли этот процесс, мы никогда не…
На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. Построить этот треугольник.
Имеется несколько гирь с весами 1 г, 2 г, 3 г, $\ldots$, $n$ г. Их надо разложить на три равные по весу кучки. При каких $n$ это удастся сделать?
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на две группы так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одной и той же группы содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
Два мудреца играют в новую игру, состоящую в следующем. Выписаны числа 0, 1, 2, ..., 1024. Первый мудрец вычёркивает по своему выбору 512 чисел, второй вычёркивает 256 из оставшихся чисел, затем снова первый вычёркивает ещё 128, потом второй — ещё 64 числа и т. д. Своим последним пятым…
Докажите, что для любого нечётного числа $a$ найдется такое натуральное $b$, что $2^b-1$ делится на $a$.
Можно ли из 18 плиток размером $1\times 2$ выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соединяющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? (Например, такое расположение плиток, как на рисунке 1, не годится, так как здесь есть «шов»…
На плоскости даны прямая $l$ и две точки $P$ и $Q$, лежащие по одну сторону от неё. Найти на прямой $l$ такую точку $M$, для которой расстояние между основаниями высот треугольника $PQM$, опущенных на стороны…
Вот несколько примеров, когда сумма квадратов $k$ последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов $k-1$ следующих натуральных чисел: $$\begin{gathered} 3^2+4^2=5^2,\\ 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2,\\ 55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2. \end{gathered}$$
Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.
Ювелиру заказано золотое колечко шириной $h$, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром $O$ и поверхностью цилиндра радиуса $r$, ось которого проходит через точку $O$ (рис. 1). Мастер сделал такое колечко, но…
Сетка линий, изображённая на обложке этого номера журнала, состоит из концентрических окружностей радиусов 1, 2, 3, 4, $\ldots$ с центром в точке $O$, прямой $l$, проходящей через точку $O$, и всевозможных касательных к окружностям,…
Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа $76^2=5776$ дают снова 76.
Пусть $l_1$, $l_2$, $\ldots$, $l_n$ — несколько прямых на плоскости, среди которых есть две пересекающихся. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке $X_1$, $X_2$, $\ldots$…
Прямоугольная таблица из $m$ строк и $n$ столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Докажите, что если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в…
Решите уравнение $$ \sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{1+x}=3, $$ где $p$ — произвольное вещественное число.
На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после рсзыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (причем все такие возможности мы считаем равновероятными), окажется, что угаданы ровно 4 клетки? 5 клеток? ... все 8 клеток?
В компании из $n$ человек каждые двое незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые двое знакомых не имеют больше общих знакомых. Докажите, что в этой компании каждый знаком с одинаковым числом людей.
Длины двух сторон треугольника 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.
Докажите, что каждое целое неотрицательное число можно представимо в виде $$ \frac{(x+y)^2+3x+y}{2}, $$ где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа, и что такое представление единственно.
Две точки $P$ и $Q$ движутся по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью $v$. Докажите, что на плоскости существует такая неподвижная точка $A$, расстояния от которой до точек $P$ и $Q$ в…
Внутри квадрата $A_1 A_2 A_3 A_4$ взята произвольная точка $P$. Из вершины $A_1$, опущен перпендикуляр на прямую $A_2P$, из вершины $A_2$ — на $A_3P$, из $A_3$ — на $A_4P$, из $A_4$ — на…
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Известно, что если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из машин, стоящих на дороге,…
Докажите, что числа 1, 2, ..., $n$ ни при каком $n$ нельзя разбить нa две группы так, чтобы произведение чисел в одной группе равнялось произведению чисел в другой.
Пусть $A$ — основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую $l$. На этой прямой взяты ещё две точки $B$ и $C$ так, что $AB=AC$. Через точки $B$ и $C$ проведены две…
Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AB=a$ и $CD=b$ проведён отрезок $A_1B_1$, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции $A_1B_1CD$ снова проведён отрезок $A_2B_2$, соединяющий середины диагоналей, и так далее…
Докажите, что в таблице $$ \begin{array}{ccccccccc} & & & &1\\ & & &1&1&1\\ & &1&2&3&2&1\\ &1&3&6&7&6&3&1\\ .&.&.&.&.&.&.&.&., \end{array} $$ где каждое число равно сумме трёх, стоящих над ним, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число. В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, делящееся на три?
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ — наибольшая. Докажите, что для любой точки $M$ плоскости $AM + CM$ не меньше $BM$. В каких случаях возможно равенство?
Докажите, что сумма 45 чисел $$ \tg 1\deg + \tg 5\deg+\tg 9\deg+ \ldots +\tg 173\deg+\tg 177\deg $$ равна 45.
В колонию, состоящую из $n$ бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и…
Множество на плоскости, состоящее из конечного числа точек обладает следующим свойством: для любых двух точек $A$ и $B$ множества найдётся точка $C$ множества такая, что треугольник $ABC$ равносторонний. Сколько точек может содержать…
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2+xy=a,\\ x^2-y^2=b, \end{array}\right. $$ где $a$ и $b$ — некоторые действительные числа.
Внутри треугольника $ABC$ лежат такие две точки $P$ и $Q$, что отрезки $AP$ и $AQ$ составляют равные углы с биссектрисой угла $A$ треугольника, а отрезки $BP$ и $BQ$ составляют равные…
Сумма цифр числа после умножения на 8 может уменьшиться: $75\cdot 8=300$ — сумма цифр была $7+5=12$, а стала 3. Однако она не может уменьшиться более чем в 8 раз.
Докажите, что $$ \dfrac{S(8M)}{S(M)}\geq\dfrac{1}{8}, $$ где $M$ — натуральное число, а $S(A)$ — сумма…
а) Докажите, что прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.
б) Докажите, аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно вписать окружность.
Докажите, что если соединить середины последовательных сторон выпуклого $n$-угольника $M$ (рис. 1), то у полученного многоугольника
Докажите, что если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки вектор, который направлен перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону и длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов будет равна нулю.
В некотором множестве введена операция $*$, которая каждым двум элементам $a$ и $b$ этого множества ставит в соответствие элемент $a * b$ из этого множества. Известно, что
1) для любых трёх элементов $a$,…
Докажите, что для любых $n$ вещественных чисел $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ найдётся такое натуральное $k \leq n$, что каждое из $k$ чисел $a_k$, $\dfrac{a_{k-1}+a_k}{2}$, $\dfrac{a_{k-2} + a_{k-1}+a_k}{3}$, ..., $\dfrac{a_1 + a_2+\ldots +a_k}{k}$ не…
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что расстояния от точки $E$ до прямых $AB$, $BC$ и $CD$ равны соответственно $p$, $q$, $r$. Найдите расстояние от точки…
Многоугольник, описанный вокруг окружности радиуса $r$, каким-то образом разрезан на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше $r$.
Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ сумму его цифр (в десятичной записи). Назовём натуральное число $m$ особым, если его нельзя представить в виде $m=n+s(n)$, где $n$ — какое-то натуральное число.…
Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.
Какое наибольшее число точек можно разместить
так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был…
Докажите, что четыре точки, в которых биссектрисы углов между продолжениями противоположных сторон вписанного четырёхугольника пересекают его стороны, являются вершинами ромба (рис. 1).
Можно ли увезти из каменоломни $50$ камней, веса которых $370~\text{кг}$, $372~\text{кг}$, $374~\text{кг}$, $\ldots$, $468~\text{кг}$ (веса составляют арифметическую прогрессию с разностью $2~\text{кг}$), на семи трёхтонках?
Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ — длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника, $S$ — его площадь.
Докажите, что если $m$ и $n$ целые числа и $1 \le m \lt n$, то $$ \sum_{k=1}^n (-1)^k k^m C_n^k=0, $$ где $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты многочлена $$ (1+x)^m=\sum_{k=0}^n C_n^k x^k. $$
Например, если $n=4$, то $C_4^0=1$,…
С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешается проделывать следующие операции:
Например, если с числом…
Выберем на высоте $BH$ треугольника $ABC$ произвольную точку $P$. Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AP$ и $BC$, $L$ — точка пересечения прямых $CP$ и $AB$. Докажите,…
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами $1$, $2$, $\ldots$, $12$ так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.
б)* Можно ли вычеркнуть одно из чисел $1$,…
Найдите наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется следующее условие: если $n$ делится на $p-1$ и $p$ простое, то $n$ делится на $p$.
$A$ обещает платить $B$ в среднем $\sqrt{2}$ руб. в день. Они условились, что в $n$-й день $A$ будет получать целое число $a_n$ рублей ($a_n$ равно 1 или 2) с таким расчётом, чтобы сумма, полученная за…
Докажите, что если четырёхугольник $ABCD$, вписанный в окружность, таков, что касательные к окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются на продолжении диагонали $BD$, то
Последовательность $x_0$, $x_1$, $x_2$, $\ldots$ определяется следующими условиями: $x_0=1$, $x_1=\lambda$, для любого $n\gt1$ $$ (\alpha+\beta)^n x_n=\alpha^n x_n x_0+\alpha^{n-1}\beta x_{n-1} x_1+\alpha^{n-2}\beta^2 x_{n-2} x_2+\ldots+\beta^n x_0 x_n. $$ Здесь $\lambda$, $\alpha$, $\beta$ — заданные…
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что
На прямой дано 50 отрезков. Доказать, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:
В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ — середина стороны $AD$, $N$ — середина стороны $BC$. На продолжении отрезка $DC$ за точку $D$ берётся точка $P$. Обозначим точку пересечения прямых…
Последовательность натуральных чисел $$ a_1\lt a_2\lt a_3\lt\ldots\lt a_n\lt\ldots\tag{A} $$ такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность (A), либо представляется в виде суммы двух чисел из последовательности (A), быть может, одинаковых.
Докажите, что $