Розенталь А. Л. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условия задач‍‍

Задача М56
На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. Затем в промежутке между двумя одинаковыми числами пишется единица, а между разными цифрами — нуль, а первоначальные цифры стираются. Доказать, что, сколько бы раз мы ни повторяли этот процесс, мы никогда не…
Задача М57
1. Найти число $k$‍,‍ которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и $k$‍).‍
2. Доказать, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не…
Задача М58
На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. Построить этот треугольник.
Задача М59
Имеется несколько гирь с весами 1 г, 2 г, 3 г, $\ldots$‍,‍ $n$‍‍ г. Их надо разложить на три равные по весу кучки. При каких $n$‍‍ это удастся сделать?
Задача М60
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на две группы так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одной и той же группы содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
Задача М97
В трапеции $ABCD$‍‍ с основаниями $AB=a$‍‍ и $CD=b$‍‍ проведён отрезок $A_1B_1$‍,‍ соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции $A_1B_1CD$‍‍ снова проведён отрезок $A_2B_2$‍,‍ соединяющий середины диагоналей, и так далее…

Розенталь А. Л.‍6

Условия задач‍‍