«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $P$ соответственно. Известно, что $$\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}.$$ Докажите, что треугольник $ABC$…
Функция $f(x)$, определённая на отрезке $[0;1]$, такова, что $$ f(0)=f(1)=0\tag1 $$ и $$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le f(x)+f(y)\tag2 $$ для всех $x$, $y\in[0;1]$. Докажите, что:
При каких натуральных $n\ge3$ существуют различные натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, такие, что $1\le a_k\le n+1$ для любого $k=1$, 2, $\ldots$, $n$ и все $n$ чисел…
На диагоналях $AC$ и $CE$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно, такие что $$ \frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|CN|}{|CE|}=\lambda. $$ Известно, что точки $B$, $M$ и $N$ лежат на одной…
Дано уравнение $x^3-3xy^2+y^3=n$. Докажите, что
Дан неравнобедренный треугольник $A_1A_2A_3$. Пусть $a_i$ — его сторона, лежащая против вершины $A_i$ ($i=1$, 2, 3), $M_i$; — середина стороны $a_i$, $T_i$ — точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный…
Рассматриваются последовательности $\{x_n\}$ положительных чисел, удовлетворяющих условию $$ 1=x_0 \ge x_1\ge x_2\ge\ldots\ge x_n\ge\ldots $$
Дан квадрат $K$ со стороной 100. Пусть $L$ — несамопересекающаяся незамкнутая ломаная, лежащая в $K$, такая, что для любой точки $P$ границы квадрата $K$ найдётся точка ломаной $L$, расстояние которой от…
Постройте прямую, параллельную стороне $AC$ данного треугольника $ABC$ и пересекающую его стороны $AB$ и $BC$ в таких точках $D$ и $E$ соответственно, что $|AD|=|BE|$.
Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равна $30\,030$, то их произведение не делится на $30\,030$.