«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлениям. Докажите, что, как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.
Положим $$ r_n=\cos^n \dfrac{\pi}{7}+\cos^n \dfrac{3\pi}{7}+\cos^n \dfrac{5\pi}{7}. $$ Найдите
Точка внутри правильного $2n$-угольника соединена с вершинами. Возникшие $2n$ треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
Докажите неравенство $$ a^2+b^2+c^2+2abc \lt 2, $$ где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника периметра 2.
Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной $P$, а $Q$ — вершина, противоположная $P$. Докажите, что
Найдите натуральное число, обладающее таким свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа.
Последовательность $(a_n)$ определяется условиями $$ a_1=0,\quad a_{2n+1}=a_{2n}=n-a_n. $$ (Например, $a_{10}=5-a_5=5-a_4=5-(2-a_2)=3+(1-a_1)=4$.)
Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигрывает тот, у кого впервые получится произведение больше