«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Из вершины $P$ тетраэдра $PABC$ проводятся три отрезка $PA'$, $PB'$, $PC'$, перпендикулярные граням $PBC$, $PCA$, $PAB$ и равные по длине площадям этих граней соответственно (направления отрезков…
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $K$ первой окружности проводятся прямые $KA$ и $KB$, пересекающие вторую окружность в точках $P$ и $Q$ (рис. 2). Докажите, что хорда…
Обозначим через $\sigma (n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$ (рис. 3). Докажите, что существует бесконечно много $n$ таких, что
Докажите, что…
Точка $P$ расположена внутри квадрата $ABCD$ так, что $|AP|:|BP|:|CP|=1:2:3$. Найдите $\widehat{APB}$.
Известно, что последними цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них может встретиться любая группа цифр, т. е. что для любого набора из $n$ цифр $a_1$, $a_2$, $\ldots$,…
На окружности отметили $4k$ точек и раскрасили их попеременно в красный и синий цвета; затем $2k$ красных точек произвольным образом соединили попарно $k$ красными отрезками, а $2k$ синих — $k$ синими отрезками (никакие три…
Докажите, что для любого натурального $n$ выполнено равенство $$ [\sqrt{n}]+[\sqrt[3]{n}]+[\sqrt[4]{n}]+\ldots+[\sqrt[n]{n}]=[\log_2{n}]+[\log_3{n}]+[\log_4{n}]+\ldots+[\log_n{n}] $$ ($[x]$ означает целую часть числа $x$).
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники $APB$ и $BQC$ с одинаковыми углами величины $\beta$ при их общей вершине $B$ (см. рис. 1).…