«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На прямоугольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (т. е. каждую клетку листа покрывают в точности две карточки).
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, где занимаются не менее $\dfrac{2}{3}$ учеников этого класса.
На сторонах выпуклого четырёхугольника площади $S$ вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырёхугольника площади $S_1$. Докажите, что
Пол комнаты, имеющий форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом $60^\circ$. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим…
Существует ли последовательность различных натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, ни один из членов которой не равен сумме нескольких других, такая что (при всех $n=1$, 2, $\ldots$)
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность с центром $O$, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная $AOC$ делит четырёхугольник на две части равной площади.
Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и 7.
$M$ — множество точек на плоскости. Точка $O$ плоскости называется «почти центром симметрии» множества $M$, если из $M$ можно выбросить одну точку такую, что для оставшегося множества $O$ является центром симметрии в…
$N$ друзей одновременно узнали $N$ новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все…