«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Квадратная таблица $n\times n$ клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся одно от другого не больше, чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице:
Числа $a$, $b$, $c$ лежат на интервале $\left(0;\dfrac\pi2\right)$ и удовлетворяют равенствам: $$ \begin{align*} \cos a&=a,\\ \sin\cos b&=b,\\ \cos\sin c&=c. \end{align*} $$ Расположите эти числа в порядке возрастания.
Внутри тетраэдра выбрана точка $M$. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из точки $M$ под углом, косинус которого не больше, чем $-\dfrac{1}{3}$.
В стране, кроме столицы, больше 100 roродов. Столица страны соединена авиалиниями со 100 городами; каждый из остальных городов соединён авиалиниями ровно с 10 городами. Известно, что из любого города можно (быть может, с пересадками) перелететь в любой другой. Докажите, что можно закрыть…
Из последовательности 1, $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac14$, $\dots$ нетрудно выделить арифметическую прогрессию длины три: $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac16$. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию
Какое наименьшее количество чисел необходимо вычеркнуть из последовательности 1, 2, 3, $\dots$, 1982, чтобы ни одно из оставшихся чисел не равнялось произведению двух других оставшихся чисел?
Внутри выпуклого четырёхугольника, у которого сумма шести попарных расстояний между вершинами (т. е. сумма длин всех сторон и диагоналей) равна $S_1$, расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$.
С замкнутой ломаной $A_1A_2\ldots A_m$, где $m$ нечётно, проделывается такая операция: середины её звеньев соединяются $m$ отрезками через одну (середина $A_1A_2$ — с серединой $A_3A_4$, середина $A_2A_3$ — с серединой…
Через произвольную точку $P$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ параллельно его медианам $AK$ и $CL$ проведены прямые, пересекающие стороны $BC$ и $AB$ в точках $E$ и…