«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$ выполнены неравенства $$ a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}\le\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}. $$
Дан параллелограмм $ABCD$, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой $AB$ относительно диагонали $AC$, пересекает в точке $Q$ прямую, симметричную прямой $DC$ относительно диагонали $DB$ (рис. 2). Найдите…
Докажите, что каждое из уравнений
имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
Докажите, что сумма квадратов трёх последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа.
Сумма $n$ чисел, каждое из которых не превосходит по модулю 1, равна $s$. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, что сумма выбранных чисел будет отличаться от $\dfrac s3$ не более чем на $\dfrac13$.
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $L$, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ (рис. 2). Пусть $R$ — радиус описанной, $r$ — радиус…
В основании треугольной пирамиды $PABC$ лежит правильный треугольник $ABC$. Докажите, что если углы $PAB$, $PBC$, $PCA$ конгруэнтны, то пирамида $PABC$ — правильная.
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. Известно, что центры окружностей: вписанной в треугольник $ABK$ и описанной около треугольника $ABC$ — совпадают. Найдите углы треугольника $ABC$.
В мастерской имеется пять различных станков. Обучение одного рабочего работе на одном станке стоит 1000 рублей. С какими наименьшими затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трёх из них все станки могли быть одновременно использованы в работе? Каждый рабочий может…