«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — различные попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных $b$, что числа $b+a_1$, $b+a_2$, $\ldots$,…
Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен $x^4+x^3+x^2+x+12=0$?
Многоугольник описан около окружности с центром $O$. Пусть $P$ — центр масс многоугольника, $K$ — центр масс его контура. Докажите, что точки $P$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой, причём $PO=2PK$.…
Каждой вершине правильного пятиугольника приписано некоторое целое число так, что сумма всех пяти чисел положительна. Разрешается проделать следующую операцию: если трём последовательным вершинам приписаны числа $x$, $y$, $z$ и $y\lt0$, то эти…
Пусть $A$ и $B$ — соседние вершины правильного $n$-угольника с центром $O$. Треугольник $XYZ$, равный треугольнику $OAB$, вначале совпадает с ним, а потом движется в плоскости $n$-угольника так, что…
На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество $M$ узлов (точек пересечения линий сетки). Докажите, что всегда можно окрасить некоторые точки множества $M$ в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой линии сетки разность между числом…
На сфере радиуса 1 проведена:
Докажите, что найдётся плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая…
Альпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После ночёвки в лагере у подножья скалы он может подниматься, навешивая верёвку, со скоростью 40 м/ч, а после холодной ночёвки на скале — 30 м/ч. По готовой верёвке он поднимается со скоростью 400 м/ч. За сколько дней он сможет достичь…
Первые 8 натуральных чисел можно расставить в две строки так, что сумма чисел в верхней строке равна сумме чисел в нижней, а суммы чисел в столбцах также равны между собой. Можно ли расставить подобным образом первые
Всегда ли из 100 треугольников найдётся хотя бы один такой, что его можно целиком покрыть остальными 99?