«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1973, и плохим — в противном случае. (Например, число $197 \ 639 \ 917$ — плохое, $116 \ 519 \ 732$ — хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что среди всех…
24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица $24 \times 25$, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа $n$, взаимно простого с числом 10, в последовательности можно указать такую группу стоящих подряд цифр, что записываемое этими цифрами число делится на $n$.
Даны два треугольника $A_1 A_2 A_3$ и $B_1 B_2 B_3$. Опишите вокруг треугольника $A_1 A_2 A_3$ треугольник $M_1 M_2 M_3$ наибольшей площади, подобный треугольнику $B_1 B_2 B_3$ (при этом вершина $A_1$ должна лежать на прямой $M_2 M_3$, вершина…
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из вещественных чисел
$$ x_1, \ x_2, \ x_3, \ \ldots, \ x_{10} $$
равна 1. Какой
может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10…
Для любого треугольника $ABC$ можно вычислить такую сумму: $$ S = \tg^2 \dfrac{A}{2} + \tg^2 \dfrac{B}{2} + \tg^2 \dfrac{C}{2}. $$
Докажите, что
Рассмотрим последовательности, состоящие из 3000 цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешается поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называются эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько всего…
Дано $n$ точек, $n \gt 4$. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в…
На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и…
Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторон в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведён луч, пересекающий окружность в точке $C$. Отрезок $OC$ пересекает…