«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду. При этом, если кузнечик $A$ прыгает через кузнечика $B$, то после прыжка он оказывается от $B$ на том же расстоянии (но, естественно, по другую сторону и на той же прямой; рис. 1).…
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее — 1973 раза (рис. 1). Сколько раз будет написано число 1973?
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки $M$ окружности до сторон одного многоугольника равно…
Может ли случиться, что ряд $a_1+a_2+a_3+\ldots$ сходится, а ряд $a_1^3+a_2^3+a_3^3+\ldots$ —…
Для каких положительных чисел $a$ верно следующее утверждение: для любой функции $f$, определенной на отрезке $[0,1]$, непрерывной в каждой точке этого отрезка и такой, что $f(0)=f(1)=0$, уравнение $f(x+a)-f(x)=0$ имеет решение?
Докажите, что центры всех эллипсов, вписанных в данный четырехугольник, лежат на прямой, проходящей через середины диагоналей этого четырехугольника.
Система прямоугольников из $n$ этажей (рис. 2) построена следующим образом. Начиная с нижнего прямоугольника, образующего первый этаж, верхняя сторона каждого прямоугольника делится в отношении $1 : 2 : 3$; на трех полученных отрезках как на основаниях строятся…
а) Докажите, что отношение радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника к сумме квадратов длин медиан, проведенных из острых углов, не превосходит $1/5$.
б) Найдите наибольшее значение, которое может принимать это отношение.
На плоскости задано $n$ точек. Нужно разместить в этих точках $n$ прожекторов, каждый из которых освещает угол величины $360^\circ /n$ так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если
а)…
Представьте себе, что вы находитесь в жарко натопленной бане, а за окном — мороз. Куда повалит пар, если вы откроете форточку?