В однородное электрическое поле, напряжённость которого равна $\boldsymbol E$, внесли металлический шар. Известно, что плотность поверхностных зарядов на «полюсе» шара в точке $A$ (рис. 3) равна $\sigma_0$. Определить плотность поверхностных зарядов в точке $B$, направление на которую из центра шара составляет угол $\alpha$ с направлением внешнего электрического поля.
Очевидно, что распределение наведённых на шаре зарядов должно быть симметричным относительно оси $AC$. Так как в целом шар электронейтрален, то заряды выше и ниже «экватора» имеют разные знаки. Следовательно, на втором полюсе $C$ плотность поверхностных зарядов равна $-\sigma_0$, а на экваторе она равна нулю.
Рис. 11
Поскольку заряды на поверхности проводника всегда распределяются так, что их плотность пропорциональна напряжённости электрического поля, то можно считать, что плотность наведённых зарядов $\sigma$ в каждой точке шара будет пропорциональна напряжённости внешнего поля $E$:
$$
\sigma\sim E.
$$
(Это следует также из соображений размерностей — размерности $\sigma$ и $E$ одинаковы.)
Воспользуемся принципом суперпозиции и разложим поле с напряжённостью $\bm{E}$ в точке $B$ на две составляющие (рис. 11) — по направлению $OB$ (вектор $\bm{E}_1$) и перпендикулярно к $OB$ (вектор $\bm{E}_2$):
$$
E_1=E\cos\alpha,\quad E_2=E\sin\alpha.
$$
Плотность зарядов $\sigma$ в точке $B$ тоже представим как сумму плотностей зарядов, которые возникают в этой точке: $\sigma=\sigma_1 + \sigma_2$, причём $\sigma_1$ создаётся полем с напряжённостью $\bm{E}_1$, а $\sigma_2$ — полем с напряжённостью $\bm{E}_2$.
Но в поле с напряжённостью $\bm{E}_2$, точка $B$ лежит на «экваторе» сферы, поэтому $\sigma_2=0$. В поле же с напряжённостью $\bm{E}_1$, точка $B$ является «полюсом» сферы. Поэтому $\sigma_1\sim E_1$
$$
\dfrac{\sigma_1}{\sigma_0}=\dfrac{E_1}E.
$$
