Задачи, стр. 21 // Архив журнала «Квант»

Задача М152
Пусть $a$‍,‍ $b$‍,‍ $m$‍,‍ $n$‍‍ — натуральные числа, причём $a$‍‍ взаимно просто с $b$‍‍ и $a\ge1$‍.‍ Доказать, что если $a^m + b^m$‍‍ делится на $a^n + b^n$‍,‍ то $m$‍‍ делится на…
Задача М155
Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1. Доказать, что их можно поместить без наложений в квадрат площади 2.
Задача Ф166
В расположенном горизонтально цилиндре с одной стороны от закреплённого поршня находится 1 моль идеального газа. В другой части цилиндра вакуум. Пружина, расположенная между поршнем и стенкой цилиндра, находится в недеформированном состоянии (рис. 2). Цилиндр теплоизолирован от…
Задача М156
В прямоугольнике $ABCD$‍‍ точка $M$‍‍ — середина стороны $AD$‍,‍ $N$‍‍ — середина стороны $BC$‍.‍ На продолжении отрезка $DC$‍‍ за точку $D$‍‍ берётся точка $P$‍.‍ Обозначим точку пересечения прямых…
Задача М157
Сумма $n$‍‍ положительных чисел $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍‍ равна 1. Пусть $S$‍‍ — наибольшее из чисел $$\frac{x_1}{1+x_1},~\frac{x_2}{1+x_1+x_2},~\ldots,~\frac{x_n}{1+x_1+x_2+\ldots+x_n}.$$ Найти наименьшее возможное значение $S$‍.‍ При каких значениях $x_1$‍,‍…
Задача М158
Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней строке написано натуральное число $a \gt 1$‍,‍ а далее под каждым числом $k$‍‍ слева пишется $k^2$‍,‍ а справа — число $k+1$‍.‍ Например, при $a=2$‍‍ получается…
Задача М159
Можно ли расставить цифры 0, 1, 2 в клетках листа клеточной бумаги размером $100 \times 100$‍‍ таким образом, чтобы в каждом прямоугольникe $3 \times 4$‍,‍ стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?
Задача М160
Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для любой группы команд можно найти команду (может быть, из этой же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Доказать, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение — 0 очков, ничья…
Задача Ф170
В однородной плазме с плотностью (числом зарядов каждого знака в единице объёма — в $1~\text{см}^3$‍)‍ $n$‍‍ все электроны, первоначально находившиеся в слое толщиной $x$‍,‍ смещаются по нормали к этому слою на расстояние $x$‍.‍ Найти электрическое поле…
Задача Ф171
На гладкий горизонтальный стол поставили вертикально гантельку, состоящую из невесомого стержня с двумя одинаковыми маленькими шариками на концах (рис. 3). Верхнему шарику ударом сообщают скорость $\overrightarrow{v}$‍‍ в горизонтальном направлении. При какой максимальной длине гантельки…

Задачник «Кванта»‍1451