Задача М1392‍‍

На плоскости задан четырёхугольник $ABCD$‍,‍ в котором $AB=BC=CD=1 $‍.‍ Положение точек $B$‍‍ и $C$‍‍ фиксировано, точки же $A$‍‍ и $D$‍‍ подвергаются следующим преобразованиям (сохраняющим длины отрезков $AB$‍,‍ $CD$‍‍ и $AD$‍).‍ Новое положение точки $A$‍‍ получается из старого симметрией относительно прямой $BD$‍,‍ затем новое положение точки $D$‍‍ получается из старого симметрией относительно прямой $AC$‍‍ (где $A$‍‍ уже занимает новое положение), затем опять $A$‍‍ отражается относительно $BD$‍‍ ($D$‍‍ уже новое), затем вновь отражается $D$‍‍ и т. д. Докажите, что после нескольких отражений положение всех точек совпадает с первоначальным.