«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что для нецелого $a \gt 1$ (причём $a\ne \sqrt[p]{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа) и натурального $n$ выполняется равенство $$ [\log_a2]+[\log_a3]+\ldots+[\log_an]+[a]+[a^2]+\ldots+[a^k]=nk, $$ где $k=[\log_an]$ ($[x]$ — целая часть числа…
На плоскости заданы два луча $p$, $q$ с вершинами в точках $P$ и $Q$ соответственно. Две окружности — одна с центром на луче $p$, проходящая через точку $P$, и другая с центром на луче $q$,…
Докажите, что при любых положительных $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, $a_n$ выполнено неравенство $$ \dfrac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{2(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)}\le\dfrac{a_1}{a_2+a_3}+\dfrac{a_2}{a_3+a_4}+\ldots+\dfrac{a_n}{a_1+a_2}.$$
Пусть $h$ и $l$ — высота и биссектриса, проведённые из одной вершины треугольника, $R$ и $r$ — радиусы его описанной и вписанной окружностей. Докажите неравенство $\dfrac hl\ge\sqrt{\dfrac{2r}R}$.
Какое наибольшее число поворотов может содержать замкнутый маршрут ладьи, обходящий по одному разу все клетки шахматной доски $8\times8$ клеток?
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность и описан около другой окружности, то прямая, проведённая через центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырёхугольника.
Точка движется в треугольнике, отражаясь от его сторон по закону «угол падения равен углу отражения». Периодической называется такая траектория этой точки, которая является замкнутой ломаной и не проходит через вершины треугольника. (Примеры периодических траекторий с тремя и шестью звеньями…
Восемь хоккейных команд соревнуются между собой за выход в финальную четвёрку. (Каждые две встречаются один раз, за выигрыш даётся два очка, за ничью — одно очко, за проигрыш — 0 очков.) Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четвёрку?
Три треугольника — белый, красный и зелёный — имеют общую внутреннюю точку $M$. Докажите, что можно выбрать по одной вершине каждого треугольника так, чтобы точка $M$ находилась внутри или на границе треугольника с вершинами в выбранных точках трёх разных…