Задачи, стр. 108 // Архив журнала «Квант»

Задача М985
Углом между двумя прямыми, пересекающимися в точке $O$‍,‍ называется угол между их лучами с вершиной $O$‍,‍ не превосходящий $90^\circ$‍.‍ Сколькими способами через точку $O$‍‍ в пространстве можно провести три прямые $l_1$‍,‍…
Задача М986
Докажите, что для любых положительных чисел $a$‍‍ и $b$‍‍ выполняется неравенство $$ 2\,\sqrt{a\vphantom b}+3\sqrt[\scriptstyle3~]{b}\ge5\sqrt[\scriptstyle5~]{ab}. $$
Задача М987
В турнире участвуют $2m$‍‍ команд. В первом туре встретились некоторые $m$‍‍ пар команд, во втором — другие $m$‍‍ пар. Докажите, что после этого можно выбрать $m$‍‍ команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.
Задача М988
Из одной точки $O$‍‍ на плоскости проведено $n$‍‍ векторов единичной длины. Докажите, что если для некоторого $k\lt\dfrac{n}{2}$‍‍ по обе стороны от каждой прямой, проходящей через $O$‍,‍ лежит не менее $k$‍‍ векторов, то длина суммы всех…
Задача М989
Найдите все натуральные числа $a$‍,‍ для которых число $a-1$‍‍ является суммой
1. двух;
2. трёх
делителей числа $a$‍‍ (не обязательно различных; в число…
Задача М990
В пространстве заданы три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, у которых эти три прямые
1. проходят по рёбрам?
2. проходят по рёбрам или диагоналям граней?
3. содержат…
Задача Ф1000
Из задач, присланных нашими читателями на Конкурс «Ф1000», лучшей признана задача
Ток $I$‍,‍ текущий по контуру, образованному четырьмя рёбрами куба (рис. 2), создаёт в центре куба магнитное поле с индукцией $B_0$‍.‍ Найти величину и направление вектора индукции…
Задача М991
В треугольнике $ABC$‍‍ проведены высота $CH$‍‍ и медиана $CK$‍.‍ На стороне $AB$‍‍ выбраны точки $E$‍‍ и $F$‍‍ так, что $\angle ACE=\angle BCF$‍,‍ и на лучи $CE$‍‍ и $CF$‍‍ опущены перпендикуляры…
Задача М992
Среди 90 выпускников одной математической гимназии у каждого не менее 10 друзей. Докажите, что любой выпускник может пригласить в гости трёх других так, что среди четырёх собравшихся у каждого будет не менее двух друзей.
Задача М993
1. Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат натурального числа.
2. Докажите, что при $2\lt n\lt11$‍‍ не существует $n$‍‍ последовательных натуральных чисел, сумма…

Задачник «Кванта»‍1572