«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Две прямые, проведённые через одну и другую точку пересечения продолжений противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разрезают его на четыре меньших четырёхугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей стороны, можно вписать окружности, то и в исходный четырёхугольник…
Докажите, что число $1985!!+1986!!$ делится на $1987$. (Через $n!!$ обозначается произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $n$ и имеющих ту же чётность, т. е. $n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdot\ldots$)
Среди $n$ членов арифметической прогрессии удалось выбрать $k$ членов, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Докажите, что $n\ge2^{k-1}$.
Для выпуклого многогранника $M$ обозначим через $S(M)$ сумму площадей его граней, через $P(M)$ — сумму произведений длин всех его рёбер на соответствующие им внешние углы многогранника (внешний угол при данном ребре — это угол между перпендикулярами к…
На плоскости даны прямая $\ell$ и две точки $A$ и $B$ по одну сторону от неё. На прямой $\ell$ выбраны точка $M$, сумма расстояний от которой до точек $A$ и $B$ наименьшая, и точка…
Выписаны $n$ чисел 2, 3, $\ldots$, $n+1$, их всевозможные произведения по два, по три и так далее вплоть до произведения всех $n$ этих чисел. Докажите, что сумма чисел, обратных всем выписанным, равна $\dfrac n2$.…
Окружность отрезает от квадрата четыре криволинейных треугольника (граница каждого состоит из дуги окружности и двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к противоположным углам квадрата, в голубой цвет, два другие — в красный. Докажите, что
Прямоугольная шоколадка разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части. Затем играющие по очереди ломают одну из получившихся частей по некоторому углублению на…