«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В некотором царстве, некотором государстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решает созвать всех жителей к 7 часам вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в…
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$. Докажите, что одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведёнными из вершин $B$ и $C$, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.
В шахматном турнире, проводимом в один круг, не менее $\dfrac34$ всех сыгранных к некоторому моменту партий закончились вничью. Докажите, что в этот момент некоторые два участника набрали одинаковое число очков.
Один из двух играющих («начинающий») ставит на некоторую клетку шахматной доски коня. Затем игроки по очереди передвигают коня по обычным правилам (буквой «Г»), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто может добиться победы (независимо от…
Будем говорить, что в цилиндр $\text{Ц}_1$ вписан боком другой цилиндр $\text{Ц}_2$, если две образующие второго цилиндра лежат на основаниях первого, а четыре точки окружностей основания второго — на боковой поверхности первого (рис. 1). Взяв цилиндр $\text{Ц}_1$, у…
На отрезке $[-1, 1]$ выбрано $k$ различных точек, для каждой посчитано произведение расстояний до остальных $k-1$ точек и через $S$ обозначена сумма обратных величин этих $k$ произведений. Докажите, что
В левый нижний угол шахматной доски $8\times8$ клеток поставлено в форме квадрата $3\times3$ девять фишек. Фишка может перепрыгнуть через любую другую фишку, симметрично отразившись от неё, если соответствующее поле свободно. Можно ли несколькими такими ходами собрать все фишки в…
Докажите, что из $n$ четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого $n$-угольника диагоналями, не более $n/2$ могут оказаться описанными около окружности. Приведите пример 8-угольника, у которого таких четырёхугольников 4.
Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, $\ldots$, где каждое число равно сумме двух предыдущих, при $m\gt3$ встретится не менее 4 и не более 5 $m$-значных чисел.
Докажите, что шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или на одной плоскости.