Докажите, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство
$$
2\,\sqrt{a\vphantom b}+3\sqrt[\scriptstyle3~]{b}\ge5\sqrt[\scriptstyle5~]{ab}.
$$
Положим $a=x^{10}$, $b=y^{15}$ и рассмотрим функцию
$$
f(x)=2x^5+3y^5-5x^2y^3,\quad x\ge0
$$
(при фиксированном $y\gt0$). Надо доказать, что $f(x)\ge0$. Производная
$$
f'(x)=10x^4-10xy^3=10x(x^3-y^3)
$$
обращается в 0 при $x=y$, отрицательна при $0\lt x\lt y$ и положительна при $x\gt y$. Таким образом (см. рисунок), при $x=y$ функция $f(x)$ принимает минимальное значение, и при всех $x\gt0$
$$
f(x)\ge f(y)=2y^5+3y^5-5y^5=0.
$$
Другие доказательства, не использующие математического анализа, можно получить, разложив $f(x)$ на множители:
$$
f(x)=(x-y)^2(2x^3+4x^2y+6xy^2+3y^3)
$$
или воспользовавшись неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для пяти чисел $x^5$, $x^5$, $y^5$, $y^5$, $y^5$:
$$
\dfrac{2x^5+3y^5}5\ge\!\sqrt[\scriptstyle5~]{x^{5\cdot2}y^{5\cdot3}}=x^2y^3
$$
(Подробное обсуждение этой задачи содержится в новом издании книги «Заочные математические олимпиады», М.: Наука, 1986, задача 4-16.)
