Задачи, стр. 100 // Архив журнала «Квант»

Задача М1093
На окружности в $n$‍‍ точках расставлены числа 0, 1, 2. Затем одновременно во всех точках производится следующее преобразование: каждое число 2 заменяется на 0, а затем к следующему за ним по часовой стрелке числу прибавляется 1. Пусть вначале количество двоек равнялось…
Задача М1095
На плоскости задана окружность с центром $O$‍‍ и две точки $A$‍,‍ $B$‍‍ (отличные от $O$‍)‍ такие, что прямая $AB$‍‍ проходит через точку $O$‍.‍ Постройте хорду $MN$‍‍ этой окружности, которая видна из точки…
Задача М1096
Диаметр $d$‍‍ окружности разбит на $k$‍‍ равных частей, и через каждую точку деления проведена хорда, перпендикулярная диаметру. Докажите, что сумма длин всех хорд не меньше $0{,}5kd$‍‍ и меньше $0{,}8kd$‍.‍
Задача М1097
Координаты вершин равнобедренного треугольника — целые числа. Докажите, что квадрат основания — чётное число.
Задача М1098
На окружности расставлены $n$‍‍ точек, занумерованных подряд числами 1, 2, $\ldots$‍,‍ $n$‍.‍ Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит хорду, соединяющую две точки с номерами одной чётности. Любая хорда не должна иметь общих точек (даже концов) с…
Задача М1099
В отряде, ведущем подготовку к полёту на Марс, 6783 космонавта, причём известно, что среди любых четырёх из них можно выбрать троих, составляющих слаженный экипаж для посадочного модуля. Докажите, что можно выбрать 5 космонавтов, любые трое из которых составляют слаженный экипаж.
Задача М1105
После нескольких прямолинейных разрезов поверхность выпуклого многогранника развернули на плоскость. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», т. е. отвечают одной и той же точке на поверхности многогранника. Каким был исходный многогранник, если при…
Задача М1106
Каждая из трёх прямых, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Задача М1107
Докажите, что если $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ — длины сторон треугольника, то $$2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\right)\ge\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+3.$$
Задача М1108
В выпуклом $n$‍‍-угольнике ($n\gt4$‍)‍ никакие три диагонали не проходят через одну точку внутри многоугольника. Какое наибольшее число диагоналей в нём можно провести так, чтобы все части, на которые они разобьют $n$‍‍-угольник, оказались треугольниками?

Задачник «Кванта»‍1104