«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
За круглым столом сидят $n$ участников «безумного чаепития». Каждую минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники чаепития могут оказаться сидящими в противоположном порядке (так что левые соседи у всех станут правыми и наоборот)? Решите эту…
На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку $A$ и три — через точку $B$ (рис. 1). Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от $A$ и $B$, — вершины…
Докажите, что из 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2, 3, $\ldots$, 23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвёртая степень целого числа.
Пусть $0\le i_1\lt i_2\lt\ldots\lt i_n$ — целые числа. Докажите, что количество нечётных коэффициентов у многочлена $$ (1+x)^{i_1}+(1+x)^{i_2}+\ldots+(1+x)^{i_n} $$ не меньше, чем у многочлена $(1+x)^{i_1}$.
В стране между некоторыми парами городов установлено авиационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более $\dfrac1{k-1}$ часть авиалиний таким образом, что среди любых $k$ городов найдутся два, не соединённые между собой авиалинией, если
Если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа $n$, то число $n$ представляется в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.
На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ взята точка $E$, а на стороне $CD$ — точка $F$, причём $AE:EB=1:2$, $CF=FD$. Будут ли голубой и розовый треугольники (рис. 1) подобны?
Докажите, что ни для какого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами не могут найтись такие различные целые числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ ($n\ge3$), для которых выполнялись бы равенства $P(x_1)=x_2$, $P(x_2)=x_3$,…
Три пары противоположных сторон шестиугольника параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие их середины, пересекаются в одной точке.
Докажите, что в последовательности $(a_n)$ различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию $a_n\lt100n$, найдётся число, в десятичной записи которого