«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Для каждого натурального числа $$ A=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\ldots+10a_1+a_0 $$ (с десятичной записью $\overline{a_na_{n-1}\ldots a_1a_0}$) положим $$ D(A)=a_n+2a_{n-1}+2^2a_{n-2}+\ldots+2^{n-1}a_a+2^na_0. $$ Например, $D(1985)=1+2\cdot9+2^2\cdot8+2^3\cdot5=91$, $D(91)=9+2\cdot1=11$, $D(11)=3$.
Докажите, что уравнение $4x^n+(x+1)^2=y^2$ относительно натуральных чисел $x$ и $y$
Про треугольник $ABC$ с длинами сторон $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ известно, что $3\widehat{A}+2\widehat{B}=180^\circ$. Докажите, что $a^2+bc-c^2=0$.
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбирается точка $P$, и через неё проводятся прямые, параллельные $BC$ и $AC$, до пересечения со сторонами $AC$ и $BC$ соответственно в точках $M$ и…
Существует ли такая прогрессия из
На сторонах правильного шестиугольника взяты точки $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_6$ (рис. 1). Известно, что три попарно не смежные стороны шестиугольника $A_1\ldots A_6$ ($A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$) определяют…
На сторонах $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ выбираются произвольные точки $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AF$, $BF$, $CE$ и $DE$…
Докажите, что
можно представить в виде разности двух многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией.
Касательные к описанной вокруг треугольника $ABC$ окружности, проведённые в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PC$