«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Дана строго возрастающая неограниченная последовательность положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ Докажите, что для всех достаточно больших $k$ справедливо неравенство
Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.
На доске в строку написаны числа $$1\quad\dfrac{1}{2}\quad\dfrac{1}{3}\quad\dfrac{1}{4}\quad{\ldots}\quad\dfrac{1}{10}\quad\dfrac{1}{11}\quad\dfrac{1}{12}.$$
Правильный треугольник $ABC$ полностью покрыт пятью меньшими равными правильными треугольниками. Докажите, что треугольник $ABC$ можно полностью покрыть четырьмя такими треугольниками (эти треугольники разрешается передвигать).
Даны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, $\ldots$, 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять групп так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были бы одинаковы во всех пяти группах?
Двадцать пять коротышек делят садовые участки в Цветочном городе. Каждый участок представляет собой квадрат $1\times1$ и все участки вместе составляют квадрат $5\times5$. Каждый коротышка находится в ссоре не более, чем с тремя другими коротышками. Докажите, что можно распределить…
Все стороны выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ равны 1. Докажите, что радиус описанной окружности одного из треугольников $ACE$ и $BDF$ не меньше 1.
Обозначим через $\{x\}$ дробную часть числа $x$; $\{x\}=x-[x]$, где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?