«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая $n$-звенная плоская ломаная, если:
Будем рассматривать векторы $(x;y)$ с целыми неотрицательными координатами, причём хотя бы одна из координат отлична от 0. Назовём такой вектор образующим, если $|x-y|=1$.
Шесть точек расположены на плоскости так, что все попарные расстояния между ними не больше 1. Докажите, что из них можно выбрать три точки, попарные расстояния между которыми строго меньше 1.
Докажите, что для неотрицательных чисел $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих условию $x^2+y^2+z^2=1$, выполнено неравенство $$ \dfrac x{1-x^2}+\dfrac y{1-y^2}+\dfrac z{1-z^2}\ge\dfrac{3\sqrt3}2. $$
Дан угол $AOB$ ($A$ и $B$ — точки на сторонах угла). Постройте прямую $l$, проходящую через вершину $O$ так, чтобы площади треугольников $AOC$ и $BOD$, где $C$ и $D$ —…
В некотором городе разрешены только парные обмены квартирами (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не участвуют в других обменах). Докажите, что любой сложный обмен квартирами нескольких семей можно осуществить за два дня. (Предполагается, что и до, и после обмена…
Тетраэдр пересечён тремя плоскостями, каждая из которых параллельна двум его противоположным рёбрам и одинаково удалена от них. Докажите, что сумма квадратов площадей этих трёх сечений в 4 раза меньше суммы квадратов площадей граней тетраэдра.
На доске нарисовано поле для игры в «цифры»: $$ ((((((((( \_\_ * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_) $$ Двое играющих ходят по очереди. Первый игрок начальным ходом записывает на месте первого (самого левого) пробела $( \_\_ )$ какую-нибудь цифру. Каждый дальнейший ход состоит в том, чтобы записать цифру на месте очередного…
Разложите на простые множители число $989 \cdot 1001 \cdot 1007 +320$.
В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ нашлась точка $O$, из которой все стороны видны под углом $60^\circ$. Докажите, что если $OA_1\gt OA_3\gt OA_5$ и $OA_2\gt OA_4\gt OA_6$, то $$ A_1A_2+A_3A_4+A_5A_6\lt A_2A_3+A_4A_5+A_6A_1. $$