«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Задачи М2886—М2888 и М2889а предлагалась на XLVII Турнире городов (весенний тур).
Учитель дал 30 ученикам тест из 10 вопросов, в котором на каждый вопрос есть ровно один правильный ответ. Каждый ученик на пять вопросов ответил правильно, а в пяти ошибся. Оказалось, что никакие два неправильных ответа учеников на один и тот же вопрос не совпали. Какое наименьшее число работ…
Назовём набор из $k$ последовательных натуральных чисел неудачным, если невозможно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы среди выбранных делителей не было одинаковых. При каждом ли натуральном $k$ количество неудачных наборов из…
Существует ли выпуклый пятиугольник со свойством: для каждой точки на его границе найдётся квадрат, вписанный в пятиугольник, и такой, что выбранная точка является одной из вершин квадрата? (Квадрат считается вписанным, если все его вершины лежат на границе пятиугольника.)
Текст задачи готовится
Точки $B_1$ и $B_2$ выбраны на стороне $AC$ треугольника $ABC$ так, что они симметричны относительно середины $AC$ (рис. 1). Окружность $\omega_a$ проходит через $B_1$ и касается прямой…
Петя выбирает 100000 чисел из отрезка $[1;1000]$. Вася хочет взять из них $3k$ чисел и разбить на $k$ троек так, чтобы для каждой тройки существовал треугольник с длинами сторон, равными числам в этой тройке. При каком наибольшем $k$ Вася сможет…
Пусть $f_{a,b}(x)=[ax+b]$. При каких парах вещественных $a\gt0$ и $b$ найдутся такие вещественные $c\gt0$ и $d$, что для всех натуральных $n$ будет выполнено равенство $f_{c,d}\big(f_{a,b}(n)\big)=n$?
Заяц и Волк играют в игру. Волк рисует граф, содержащей более одной вершины, и красит его рёбра в красный и синий цвета. Затем Заяц ставит в какие-то две вершины красную и синюю фишки и выбирает, какая из них достанется ему, а какая — Волку. После этого Заяц и Волк ходят по очереди, за ход игрок…
