«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Задачи М2875—М2877 предлагались на ХХ Южном математическом турнире.
Точки $B_1$ и $B_2$ выбраны на стороне $AC$ треугольника $ABC$ так, что они симметричны относительно середины $AC$ (рис. 1). Окружность $\omega_a$ проходит через $B_1$ и касается прямой $AB$ в…
Петя выбирает 100000 чисел из отрезка $[1;1000]$. Вася хочет взять из них $3k$ чисел и разбить на $k$ троек так, чтобы для каждой тройки существовал треугольник с длинами сторон, равными числам в этой тройке. При каком наибольшем $k$ Вася сможет…
Пусть $f_{a,b}(x)=[ax+b]$. При каких парах вещественных $a\gt0$ и $b$ найдутся такие вещественные $c\gt0$ и $d$, что для всех натуральных $n$ будет выполнено равенство $f_{c,d}\big(f_{a,b}(n)\big)=n$?
Заяц и Волк играют в игру. Волк рисует граф, содержащей более одной вершины, и красит его рёбра в красный и синий цвета. Затем Заяц ставит в какие-то две вершины красную и синюю фишки и выбирает, какая из них достанется ему, а какая — Волку. После этого Заяц и Волк ходят по очереди, за ход игрок…
Текст задачи готовится
Дано дерево (т. е. связный граф без циклов). Изначально в каждой его вершине находится по фишке. За ход выбирается ребро и производится обмен двух фишек, находящихся в концах этого ребра. Докажите, что если сделать (в некотором порядке) по одному ходу с каждым ребром, то в результате фишки…
Выясните, существует ли такая функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, что для всех $x \in \mathbb{R}$ и $y \in \mathbb{R}$ таких, что $x\lt y$, выполнено неравенство $$ f(x)\gt f(f(y)). $$
Пусть $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ попарно различные 1000-значные натуральные числа, а $p$ — простое 1000-значное число. Докажите, что хотя бы одно из двух чисел $$\begin{gather*} \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n},\\ \frac{1}{x_1+p}+\frac{1}{x_2+p}+\ldots+\frac{1}{x_n+p} \end{gather*}$$ не является целым.
Пусть высоты $BE$ и $CF$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$ (рис. 2); центр окружности $(ABC)$ обозначим через $O$. Прямая $AH$ пересекает $BC$ в точке…
Два одинаковых шарика массами $m$ находятся на расстоянии $2l$ и соединены нерастяжимой невесомой нитью (рис. 3). На эту систему налетает шар массой $2m$, который движется со скоростью $v$ по линии, проходящей через середину нити и…
Водность воздуха — это величина, характеризующая содержание конденсированной жидкой воды в виде мелких капелек в объёме. Над землёй находится неподвижное облако с водностью $3~\text{г/м}^3$. Облако окружено прозрачным воздухом, температура которого $273~\text{К}$ и плотность…
Замкнутый виток однородного металлического тонкого провода массой $m$ с начальной длиной провода $2\pi R_0$ раскрутили в космосе до угловой скорости $\Omega$ так, что он принял форму окружности радиусом $R=R_0+\Delta R$, причём $\Delta R \ll R_0$. В пространстве…
Частица с массой $m$ и электрическим зарядом $Q$, движущаяся в вакууме со скоростью, во много раз меньшей скорости света (нерелятивистская частица), и с ускорением $a$, излучает электромагнитные волны. Суммарная мощность излучения, уходящего от такой…
Докажите, что для любых положительных $b$ и $c$ уравнение $$ (x+b)(x+c)=2\sqrt{xbc(x+b+c)} $$ имеет единственный положительный корень.
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$ (рис. 1). Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $X$, а лучи $AD$ и $BC$ — в точке $Y$. Биссектрисы углов $AXD$ и $AYB$ пересекаются в…
На плоскости дано множество $S$ из $n\gt100$ прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две из которых не параллельны. Прямые множества $S$ разбивают плоскость на области. Петя покрасил несколько (хотя бы одну) ограниченных…
Числа от 1 до $n$ расставлены в некотором порядке в клетках полоски $1\times n$. Будем называть флипом операцию, которая некоторым образом (см. ниже) выбирает две разные клетки полоски и меняет местами числа, записанные в них, но только в том случае, когда большее…
