«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что для положительных $a$, $b$, $c$ и $d$ справедливо неравенство: $$ \begin{gathered} a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd\ge\\ \ge a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2. \end{gathered} $$
Окружность касается трёх полуокружностей с диаметрами $AB$, $BC$ и $AC$ ($C \in [AB]$). Докажите, что радиус окружности вдвое меньше расстояния от её центра до прямой $AB$.
Докажите, что если $x$, $y$, $z$ — длины сторон треугольника, то $$ \left|\dfrac xy+\dfrac yz+\dfrac zx-\dfrac yx-\dfrac zy-\dfrac xz\right|\lt1. $$
Докажите, что периметр любого сечения треугольной пирамиды плоскостью не превосходит наибольшего из периметров её граней.
Полукруг с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перпендикулярным $AB$, на два криволинейных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которые вписаны окружности, касающиеся $AB$ в точках $E$ и $F$…
В основании треугольной пирамиды $PABC$ лежит правильный треугольник $ABC$. Докажите, что если углы $PAB$, $PBC$, $PCA$ конгруэнтны, то пирамида $PABC$ — правильная.
Пусть $a$, $b$, $c$ — неотрицательные числа.
Известно, что все рёбра многогранника $M$ равны между собой и касаются некоторого шара.
Из вершины треугольника проведён отрезок в точку на противоположной стороне, делящийся вписанной окружностью на три равные части. Может ли этот отрезок оказаться
треугольника?
Две равные окружности касаются друг друга. Постройте трапецию такую, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.
Дана полуокружность с диаметром $AB$. Постройте хорду $MN$, параллельную $AB$, так, чтобы трапеция $AMNB$ была описанной.
Докажите, что для любых положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, справедливо неравенство $$ \sqrt{\dfrac{a_1+a_2}{a_3}}+\sqrt{\dfrac{a_2+a_3}{a_4}}+\ldots+\sqrt{\dfrac{a_{n-1}+a_n}{a_1}}+\sqrt{\dfrac{a_n+a_1}{a_2}} \ge n\sqrt{2}. $$
Пусть $m$, $n$ и $k$ — натуральные числа, причём $m\gt n$. Какое из двух чисел больше —
На дуге $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$ (не содержащей $A$), взята точка $K$. Пусть $NK$ и $MK$ — биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$. Докажите, что прямая…
Три числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют условиям $x+y+z=0$, $xyz=2$. Найдите максимум величины $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}$.
В основании пирамиды лежит правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, $B$ — вершина пирамиды. Известно, что углы $BA_1A_2$, $BA_2A_3$, $\ldots$, $BA_{n-1}A_n$, $BA_nA_1$ равны. Докажите, что пирамида правильная.
Монотонно возрастающая последовательность целых чисел $\{a_n\}$ обладает тем свойством, что для любой пары взаимно простых чисел $p$ и $q$ выполняется равенство: $a_{pq}=a_p a_q$; кроме того, известно, что $a_1=1$, $a_2=2$.
Найдите все натуральные числа $x$ такие, что сумма $1+2+\ldots+x$ равна числу, полученному приписыванием к $x$ (в десятичной записи) слева цифры 1.
Докажите, что для всех наборов $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, $0\lt x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$, выражение $$ x_2^{k}(x_1-x_3)+x_3^{k}(x_2-x_4)+\ldots+x_1^{k}(x_n-x_2) $$ неотрицательно при $k\gt 1$ и неположительно при $0\lt k\lt 1$.
Пусть $H$ — точка пересечения высот, $O$ и $I$ — центры описанной и вписанной окружностей неравностороннего треугольника. Докажите, что из трёх отрезков $OH$, $IH$, $OI$ наибольший — $OH$.
Про числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ известно, что для всех $x$ $$ |a_1\sin x+a_2\sin2x+\ldots+a_n\sin nx|\le|\sin x|. $$ Докажите, что $|a_1+2a_2+\ldots+na_n|\le1$.
Докажите, что для любых натуральных $m$, $d$, $k$ найдётся натуральное $n$ такое, что $$ \left(\sqrt{m}+\sqrt{m+d}\right)^k=\sqrt{n}+\sqrt{n+d^k}. $$
Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные числа такие, что $abc=1$. Докажите, что $$ \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}\ge \dfrac{3}{2}. $$
Существуют ли
таких, что сумма любых трёх из них — простое число?
Обозначим через $P_n(x)=1+x+x^2+\ldots+x^{n-1}$ многочлен $(n-1)$-й степени, все коэффициенты которого равны единице.
Докажите, что существует бесконечно много троек чисел $n-1$, $n$, $n+1$ таких, что:
Придумайте многочлен с рациональными коэффициентами, минимальное значение которого равно