«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
На каждом из нескольких кусков бумаги произвольной формы поставлена клякса (произвольной формы). Назовём промокашку подходящей для данного куска, если её можно разместить внутри этого куска так, что она закроет кляксу. Пусть набор промокашек, имеющих форму кругов разных радиусов, обладает таким…
На шахматной доске размера $99\times99$ отмечена фигура $\mathit\Phi$ (эта фигура будет разной в пунктах а), б) и в)). В каждой клетке фигуры $\mathit\Phi$ сидит жук. В какой-то момент жуки взлетели и сели снова в клетки той же фигуры $\mathit\Phi$; при этом в одну…
На поверхности куба с ребром 1 расположена замкнутая ломаная линия. На каждой грани куба находится по крайней мере одно звено ломаной. Докажите, что длина ломаной не меньше $3\sqrt2$.
В каждой вершине выпуклого многогранника сходится три ребра. Известно, что каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг этого многогранника можно описать сферу.
Сечение правильного тетраэдра — четырёхугольник. Докажите, что периметр этого четырёхугольника больше $2a$, но меньше $3a$; где $a$ — длина ребра тетраэдра.
На плоскости задано несколько непересекающихся отрезков, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Мы хотим провести еще несколько отрезков, соединяющих концы данных отрезков так, чтобы все отрезки вместе образовали одну несамопересекающуюся ломаную. Всегда ли это можно сделать?
В круге расположено $k\gt1$ чёрных секторов, угол каждого из которых меньше $\dfrac{180^\circ}{k^2-k+1}$. Докажите, что круг можно повернуть вокруг центра $O$ так, что все чёрные секторы перейдут в белую часть круга.
На плоскости дано несколько точек. Для некоторых пар $(A;B)$ этих точек взяты векторы $\overrightarrow{AB}$, причём так, что в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна $\overrightarrow{0}$.
Внутри окружности $\mathit\Gamma$ расположено $n$ кругов. Докажите, что длина границы объединения этих кругов не превосходит длину окружности $\mathit\Gamma$, если
Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых клеток.
На прямоугольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (т. е. каждую клетку листа покрывают в точности две карточки).
На окружности отмечены $3k$ точек, разделяющих её на $3k$ дуг, из которых $k$ дуг имеют длину $1$, ещё $k$ дуг — длину $2$, и остальные $k$ дуг — длину $3$. Докажите, что среди…
Найдите сумму $$ \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\ldots+\frac{n-1}{n!} $$ (через $k!$ обозначается произведение $1\cdot2\cdot\ldots\cdot k$).
Можно ли жёсткий правильный тетраэдр с ребром 1 протащить сквозь обруч диаметра:
Радиус круга с центром $O$ равномерно вращается, поворачиваясь за одну секунду на угол $\dfrac{360^\circ}n$ (где $n$ — натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение $OM_0$, через секунду — положение $OM_1$, ещё через 2…
Числа 1, 2, $\ldots$, $2n-1$, $2n$ разбиты на две группы по $n$ чисел в каждой. Пусть $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_n$ — числа первой группы в порядке возрастания, $b_1\gt b_2\gt\ldots\gt b_n$ — числа второй группы в порядке убывания. Докажите,…
Правильный треугольник $ABC$ полностью покрыт пятью меньшими равными правильными треугольниками. Докажите, что треугольник $ABC$ можно полностью покрыть четырьмя такими треугольниками (эти треугольники разрешается передвигать).
Два одинаковых квадрата в пересечении образуют восьмиугольник. Стороны одного квадрата синие, другого — красные. Докажите, что сумма длин синих сторон восьмиугольника равна сумме длин его красных сторон.
Докажите, что число $1985!!+1986!!$ делится на $1987$. (Через $n!!$ обозначается произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $n$ и имеющих ту же чётность, т. е. $n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdot\ldots$)
Окружность отрезает от квадрата четыре криволинейных треугольника (граница каждого состоит из дуги окружности и двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к противоположным углам квадрата, в голубой цвет, два другие — в красный. Докажите, что
Координаты вершин равнобедренного треугольника — целые числа. Докажите, что квадрат основания — чётное число.
Каждая из трёх прямых, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Масса каждой из 101 гирек, расположенных по окружности, — натуральное число, а их общая масса равна 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну или несколько гирек, расположенных подряд, с общей массой 200 г.
На шахматной доске расставлено 8 фигур так, что в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду клеток стоит по одной фигуре. Докажите, что на чёрных клетках шахматной доски стоит чётное число фигур.
Докажите, что если некоторый выпуклый шестиугольник можно разрезать на $N$ параллелограммов равной площади, то
Докажите, что не существует двух (отличных от параллелограмма) трапеций таких, что боковые стороны каждой из них соответственно равны основаниям другой.
Текст задачи готовится
На окружности с центром $O$ расположены точки $A$ и $B$. Точка $P$ находится на меньшей из дуг $AB$, точки $Q$ и $R$ симметричны точке $P$ относительно прямых $OA$ и…
Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по $45^\circ$. Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.
Прямая отрезает от правильного $2n$-угольника со стороной 1 треугольник $APQ$ так, что $AP+AQ=1$ ($A$ — вершина $2n$-угольника). Найдите сумму углов, под которыми отрезок $PQ$ виден из всех вершин…
(Напомним, что многоугольник на плоскости ограничен несамопересекающейся замкнутой ломаной.)
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
На сфере радиуса 1 проведена:
Докажите, что найдётся плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая…