Эту задачу можно решать многими различными способами. Приведём два из них.
Первое решение. Применим индукцию по числу векторов. Для $n=2$ имеем векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$, сумма которых есть $\overrightarrow0$. Пусть утверждение справедливо для $n$ векторов. Рассмотрим систему из $n+1$ векторов. Заменим в этой системе два вектора $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ их суммой $\overrightarrow{AC}$. Векторы новой системы будут продолжать удовлетворять условию задачи. Поэтому, по предположению индукции, их сумма равна $\overrightarrow0$. Но сумма векторов исходной системы, очевидно, равна сумме векторов полученной системы.
Второе решение. Запишем каждый из данных векторов в виде $\overrightarrow{A_iA_j}=\overrightarrow{OA_j}-\overrightarrow{OA_i}$, где $O$ — произвольная фиксированная точка. В силу условия задачи, в рассматриваемую сумму каждый из векторов $\overrightarrow{OA_i}$ войдёт со знаком «$+$» столько же раз, сколько со знаком «$-$». Значит, вся сумма равна $\overrightarrow0$.
