В каждой вершине выпуклого многогранника сходится три ребра. Известно, что каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг этого многогранника можно описать сферу.
В. В. Произволов
Всесоюзная математическая олимпиада школьников (XI, 1977 год, 10 класс)
Пусть $A$ — вершина многогранника, $AB$, $AC$, $AD$ — выходящие из неё рёбра. Поскольку точки $A$, $B$, $C$, $D$ не лежат в одной плоскости, через них можно провести сферу; обозначим эту сферу через $S_A$ (рис. 1).
Пусть $A$ и $B$ — соседние вершины. Докажем, что сферы $S_A$ и $S_B$ совпадают. Отсюда сразу вытекает, что сферы $S_X$ совпадают для всех вершин $X$, т. е. все вершины лежат на одной сфере.
Пусть $BE$ и $BF$ — рёбра, выходящие из вершины $B$. Они лежат в двух гранях $CAB$ и $DAB$, граничащих с ребром $AB$. Пусть, например, ребро $BE$ лежит в грани $CAB$, а ребро $BF$ — в грани $DAB$ (заметим, что точка $E$ может совпадать с $C$ и, аналогично, точка $F$ может совпадать с $D$). По условию, точки $C$, $A$, $B$, $E$ лежат на одной окружности. При этом три точки $C$, $A$ и $B$ лежат на окружности, которая получается при пересечении сферы $S_A$ плоскостью, проходящей через точки $C$, $A$, $B$. Так как через три различные точки можно провести не более одной окружности, то две построенные окружности совпадают, т. е. точка $E$ лежит на сфере $S_A$. Аналогично доказывается, что точка $F$ лежит на сфере $S_A$. Значит, сфера $S_A$ проходит через точки $B$, $A$, $E$, $F$, т. е. она совпадает со сферой $S_B$, что и требовалось.
