Лиманов Л. Г. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условия задач‍‍

Задача М86
Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размера $2 \times 2$‍‍ и $1 \times 4$‍.‍ Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку $2 \times 2$‍.‍ Вместо неё удалось достать плитку $1 \times 4$‍.‍ Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
Задача М94
Докажите, что не существует многогранника, у которого к каждой вершине и к каждой грани примыкает не менее чем по четыре ребра.
Задача М173
В квадратной таблице $4 \times 4$‍‍ расставлены числа 1, 2, 3, $\ldots$‍,‍ 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом…

Решения задач‍‍

Задача М39
Докажите, что целые неотрицательные числа $x$‍,‍ $y$‍‍ удовлетворяют уравнению $$ x^2-mxy+y^2=1 $$ (где $m$‍‍ — данное целое число, большее единицы) тогда и только тогда, когда $x$‍‍ и $y$‍‍ — соседние члены…
Задача М92
Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом строго придерживаться такого распорядка: каждый второй день (т. е. через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами и каждый пятый день решать задачи по математике. (В первый день Петя…
Задача М93
Каждое из чисел $x_1$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍‍ равно плюс или минус единице. Известно, что $$x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0.$$ Докажите, что $n$‍‍ делится на 4.
Задача М95
На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия $EF$‍‍ и опущен перпендикуляр $OK$‍‍ из точки $O$‍‍ пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стёрли. Как восстановить чертёж по сохранившимся отрезкам $EF$‍‍ и…
Задача М112
В таблице $m\times n$‍‍ записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Доказать, что…
Задача М113
Доказать, что для любого натурального $n$‍‍ найдётся число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на $2^n$‍.‍
Задача М114
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ $d$‍‍ оказывается, что $(a-b)(c-d)\lt0$‍,‍ то числа $b$‍‍ и $c$‍‍ можно поменять местами. Доказать, что эту операцию…
Задача М115
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Доказать, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю…
Задача М129
1. В ведро налили 12 л молока. Как, пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделить молоко на две равные части?
2. Решите общую задачу: при каких $a$‍‍ и $b$‍‍ можно разделить пополам…
Задача М133
Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль «вольвокс» — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (т. е. клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних) в каждой «вершине» сходятся три клетки (рис. 3).…
Задача М134
Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах $AB$‍,‍ $BC$‍‍ и $AC$‍‍ данного треугольника $ABC$‍?‍
Задача М181
Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см? (Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на $90^\circ$‍‍ и $180^\circ$‍,‍ но ломать её нельзя.)
Задача М182
Докажите, что если
1. $a >0$‍,‍ $b>0$‍‍ и $c>0$‍,‍ то
  $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$‍.‍
2. $a >0$‍,‍ $b>0$‍,‍ $c>0$‍‍ и $d>0$‍,‍ то
Задача М188
Между некоторыми из $2n$‍‍ городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан не менее чем с $n$‍‍ другими (беспосадочными рейсами). Докажите, что даже если отменить любые $n-1$‍‍ рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой…
Задача М199
1. Докажите, что сумма $$ C_n^0-C_{n-1}^1\cdot\dfrac14+C_{n-2}^2\cdot\dfrac1{4^2}-\ldots+(-1)^i C_{n-i}^i\cdot\frac1{4^i}+\ldots $$ $\Big($‍‍сумма берётся по всем целым $i$‍,‍ $0\le i\le\dfrac n2\Big)$‍‍ равна $\dfrac{n+1}{2^n}$‍.‍
2. Докажите, что если $p$‍‍ и $q$‍‍ — различные числа и $p+q=1$‍,‍ то…
Задача М206
Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа $n$‍,‍ взаимно простого с числом 10, в последовательности можно указать такую группу стоящих подряд цифр, что записываемое этими цифрами число делится на $n$‍.‍
Задача М208
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из вещественных чисел
$$ x_1, \ x_2, \ x_3, \ \ldots, \ x_{10} $$
равна 1. Какой
1. наибольшей,
2. наименьшей
может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10…
Задача М236
1. Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.
2. Даны натуральные числа $k$‍‍ и $n$‍,‍…
Задача М238
Докажите, что $$ C_n^1+C_n^3\cdot1973+C_n^5\cdot1973^2+C_n^7\cdot1973^3+\ldots $$ делится на $2^{n-1}$‍.‍ (Здесь $C_n^k$‍‍ — коэффициенты многочлена $$ (a+b)^n=\textstyle\sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n-k}.\Big) $$
Задача М244
Даны два набора из $n$‍‍ вещественных чисел: $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ и $b_1$‍,‍ $b_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $b_n$‍.‍ Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
Задача М246
На плоскости даны две прямые $m$‍‍ и $n$‍‍ и точка $O$‍.‍ Постройте треугольник, две высоты которого лежат на данных прямых $m$‍‍ и $n$‍,‍ а центр описанной окружности находится в точке $O$‍.‍
Задача М247
Квадрат $6\times6$‍‍ нужно заполнить 12 плитками, из которых $k$‍‍ имеют форму уголка, а остальные $12-k$‍‍ — прямоугольника (см. рис. 1). При каких $k$‍‍ это возможно?
Задача М253
На плоскости заданы три точки, являющиеся соответственно центрами вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей треугольника. Как по этим данным восстановить треугольник?

(Напомним, что вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из сторон…
Задача М266
Дан выпуклый $n$‍‍-угольник.
1. Докажите, что если для каждой тройки последовательных вершин $n$‍‍-угольника построить окружность, проходящую через эти три вершины, и из $n$‍‍ полученных окружностей выбрать такую, у…
Задача М287
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, что любое натуральное число 1, 2, 3, $\ldots$‍‍ можно представить в виде разности двух чисел этой последовательности единственным способом?
Задача М340
В каждую клетку прямоугольной таблицы записано вещественное число. Некоторая клетка таблицы называется её седловой клеткой, если стоящее в ней число не меньше остальных чисел в своём столбце и не больше остальных чисел в своей строке.
1. Пусть про…
Задача М346
Точка $K$‍‍ — середина стороны $AB$‍‍ квадрата $ABCD$‍,‍ а точка $L$‍‍ делит диагональ $AC$‍‍ в отношении $3:1$‍‍ (рис. 1). Докажите, что угол $KLD$‍‍ — прямой.
Задача М355
$N$‍‍ ребят перекидываются $N$‍‍ мячами. В начале игры каждый из них бросает свой мяч кому-нибудь из своих товарищей и сам ловит брошенный кем-нибудь мяч (он может подбросить и поймать свой собственный мяч) так, что снова у всех оказывается по мячу. Затем ребята опять…
Задача М358
Докажите, что у любого $n$‍‍-угольника ($n\ge 4$‍)‍ есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри $n$‍‍-угольника, и выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь $n$‍‍-угольник (при каждом $n$‍).‍
Задача М412
В городе на каждую площадь выходит не менее трёх улиц. На всех улицах введено одностороннее движение так, что с любой площади можно проехать на любую другую. Докажите, что можно запретить движение по одной из улиц (на участке между двумя площадями) так, что по-прежнему с любой площади можно…
Задача М432
Существует ли полный квадрат, сумма цифр которого равна
1. 1977;
2. 1978?
3. Выясните, какие натуральные числа могут быть суммами цифр квадрата целого числа.
Задача М439
1. Докажите, что уравнение $$ ax^k+bx^l+cx^m=1 $$ (где $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — действительные, $k$‍,‍ $l$‍‍ и $m$‍‍ — натуральные числа) имеет не более трёх положительных корней.
2. Докажите,…
Задача М467
Точки $D$‍‍ и $E$‍‍ делят стороны $AC$‍‍ и $AB$‍‍ правильного треугольника $ABC$‍‍ в отношениях $|AD|:|DC|=|BE|:|EA|=1:2$‍.‍ Прямые $BD$‍‍ и $CE$‍‍ пересекаются в точке $O$‍.‍ Докажите, что угол…
Задача М487
На данных окружностях $\gamma_1$‍‍ и $\gamma_2$‍‍ построить по хорде так, чтобы эти хорды были гомотетичны с заданным центром $A$‍,‍ принадлежащим $\gamma_1$‍,‍ и чтобы длина хорды окружности $\gamma_2$‍‍ равнялась заданной величине $a$‍.‍
Задача М502
Даны три параллельных отрезка $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍,‍ $CC_1$‍,‍ не лежащих в одной плоскости. Пусть $M$‍‍ — точка пересечения плоскостей $ABC_1$‍,‍ $BCA_1$‍‍ и $CAB_1$‍,‍ а $M_1$‍‍ — точка пересечения плоскостей…
Задача М509
Решите в натуральных числах уравнения:
1. $$2^x+1=3^y;$$
2. $$z^x+1=(z+1)^2;$$
3. $$z^x+1=(z+1)^y.$$
Задача М511
Внутри четырёхугольника $ABCD$‍‍ отмечена точка $M$‍‍ такая, что $ABMD$‍‍ — параллелограмм. Докажите, что если $\widehat{CBM}=\widehat{CDM}$‍,‍ то $\widehat{ACD}=\widehat{BCM}$‍.‍
Задача М526
1. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна $$ S=\dfrac{\tg\phi\,|a^2-b^2+c^2-d^2|}4, $$ где $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ и $d$‍‍ — длины последовательных сторон четырёхугольника, $\phi$‍‍ — величина угла между его диагоналями,…
Задача М540
Международное общество состоит из представителей шести различных стран. Список членов общества состоит из 1978 фамилий, занумерованных числами 1, 2, $\ldots$‍,‍ 1978.

Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равняется сумме номеров двух членов из его…
Задача М548
1. На окружности расположено 4 точки. Через середину хорды, соединяющей две из них, проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две другие точки. (Такая прямая проводится для каждой пары точек.) Докажите, что все шесть построенных прямых проходят через одну…

Лиманов Л. Г.‍43

Условия задач‍‍

Решения задач‍‍