На плоскости заданы три точки, являющиеся соответственно центрами вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей треугольника. Как по этим данным восстановить треугольник?
(Напомним, что вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.)
Обозначим вершины искомого треугольника буквами $A$, $B$ и $C$, центры описанной, вписанной и вневписанной окружностей — буквами $O$, $O_1$ и $O_2$ соответственно (рис. 2).
Заметим, что прямая $O_1O_2$, проходящая через центры вписанной и вневписанной окружностей, является биссектрисой угла $A$ треугольника $ABC$, т. е. прямая $O_1O_2$ должна проходить через вершину $A$. Легко сообразить, что $\angle O_1BO_2=\angle O_1CO_2=\dfrac\pi2$. Следовательно, точки $B$ и $C$ лежат на окружности $s$ с диаметром $O_1O_2$; обозначим центр этой окружности (т. е. середину отрезка $O_1O_2$) буквой $S$. Так как точка $O$ — центр описанной окружности, то она находится на перпендикуляре, проходящем через середину отрезка $BC$. Но отрезок $BC$ — хорда окружности $s$, поэтому этот перпендикуляр должен проходить через центр окружности $s$, т. е. через точку $S$.
Рис. 2
Итак, если точки $O$ и $S$ не совпадают, то прямая $OS$ перпендикулярна к стороне $BC$ искомого треугольника и проходит через её середину.
Осталось воспользоваться тем, что точка пересечения перпендикуляра, проходящего через середину стороны $BC$, и биссектрисы угла $A$ (т. е. точка $S$) находится на окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$ (см. рис. 2). Поэтому описанную окружность (с центром $O$) мы можем построить (её радиус равен отрезку $SO$). Вторая точка пересечения этой окружности с прямой $O_1O_2$ — это вершина $A$ искомого треугольника. Точки, в которых окружность пересекается с окружностью $s$, — это две другие вершины нашего треугольника ($B$ и $C$).
Из указанного построения видно, что точки $O_1$, $O_2$ и $O$ не могут быть заданы произвольно: очевидно, что точка $O_1$ должна лежать внутри окружности с центром в точке $O$, проходящей через середину $O_1O_2$. Докажите, что это ограничение на расположение точек $O$, $O_1$, $O_2$ — единственное.
