Задача М134‍‍

Нам будет удобно рассматривать не только полноценные треугольники, но и вырожденные треугольники тоже. Докажем сначала, что любая точка синего шестиугольника является центром тяжести вписанного треугольника (рис. 10). Для этого нам понадобится такая

Лемма. Если точка $O_1$‍‍ является центром тяжести вписанного треугольника $K_1L_1M_1$‍,‍ а точка $O_2$‍‍ — центром тяжести вписанного треугольника $K_2L_2M_2$‍,‍ то для любой точки отрезка $[O_1,O_2]$‍‍ можно указать вписанный треугольник, для которого она является центром тяжести.

Доказательство. Нам будет удобно пользоваться механической интерпретацией понятия центра тяжести. Пусть точка $O_3$‍‍ принадлежит отрезку $[O_1,O_2]$‍.‍ Тогда можно положить такие грузики $p_1$‍‍ и $p_2$‍‍ в точки $O_1$‍‍ и $O_2$‍,‍ что она является их центром тяжести. Поместим теперь грузики $\dfrac{p_1}3$‍‍ в вершины треугольника $K_1L_1M_1$‍,‍ а грузики $\dfrac{p_2}3$‍‍ — в вершины треугольника $K_2L_2M_2$‍‍ (рис. 11). Центр тяжести этих шести грузиков совпадает с точкой $O_3$‍.‍ С другой стороны, он является центром тяжести трех грузиков $\dfrac{p_1+p_2}3$‍,‍ помещенных в вершины треугольника $K_3L_3M_3$‍,‍ полученного следующим образом. Точки $K_3$‍,‍ $L_3$‍‍ и $M_3$‍‍ — это центры тяжестей пар грузиков $\dfrac{p_1}3$‍,‍ $\dfrac{p_2}3$‍,‍ помещенных в точки $K_1$‍,‍ $K_2$‍;‍ $L_1$‍,‍ $L_2$‍‍ и $M_1$‍,‍ $M_2$‍‍ соответственно. Таким образом, исходя из треугольников $K_1L_1M_1$‍‍ и $K_2L_2M_2$‍‍ и произвольной точки $O_3$‍‍ отрезка $[O_1,O_2]$‍,‍ мы построили треугольник $K_3L_3M_3$‍,‍ центром тяжести которого она является. Лемма доказана.

Теперь легко доказать, что любая точка синего шестиугольника является центром тяжести некоторого вписанного треугольника. Действительно, достаточно доказать это для его вершин, а затем воспользоваться леммой — с её помощью мы от вершин сможем перейти к границе, а потом и к любой внутренней точке. Но для вершин такие треугольники строятся без труда: это треугольники, у которых вершины лежат в вершинах основного треугольника и две вершины слились в одну.

Остаётся доказать, что точки, лежащие внутри треугольников $AB_1C_1$‍,‍ $A_1BC_2$‍,‍ $A_2B_2C$‍,‍ не могут быть центрами тяжести вписанных треугольников. Действительно, пусть для некоторой точки $O$‍‍ треугольника $AB_1C_1$‍‍ нашелся треугольник $KLM$‍,‍ для которого она является центром тяжести (рис. 12). Но тогда она делит отрезок $KN$‍‍ в отношении $1:2$‍,‍ что невозможно.