Задача М355‍‍‍

$N$‍‍ ребят перекидываются $N$‍‍ мячами. В начале игры каждый из них бросает свой мяч кому-нибудь из своих товарищей и сам ловит брошенный кем-нибудь мяч (он может подбросить и поймать свой собственный мяч) так, что снова у всех оказывается по мячу. Затем ребята опять бросают мячи тем же, кому они бросали их в первый раз, и т. д. Игра останавливается, когда все мячи вернулись к своим владельцам (чтобы мячи не перепутались, будем считать их разноцветными).

Докажите, что

1. к каждому из участников мяч вернётся впервые не более чем через $N$‍‍ бросаний;
2. игра обязательно закончится;
3. для 5, 10 и 15 участников она может закончиться самое большее через соответственно 6, 30 и 105 бросаний (а какова максимальная возможная длительность игры для $N=7$‍,‍ $N=8$‍,‍ $N=20$‍?);‍
4. длительность игры всегда является делителем числа $N!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot N$‍;‍
5. длительность игры не может превышать $3^{\frac{\scriptstyle N}{\scriptstyle3}}_{\mathstrut}$‍.‍