Лиманов Л. Г. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М39
Докажите, что целые неотрицательные числа $x$‍,‍ $y$‍‍ удовлетворяют уравнению $$ x^2-mxy+y^2=1 $$ (где $m$‍‍ — данное целое число, большее единицы) тогда и только тогда, когда $x$‍‍ и $y$‍‍ — соседние члены…
Задача М86
Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размера $2 \times 2$‍‍ и $1 \times 4$‍.‍ Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку $2 \times 2$‍.‍ Вместо неё удалось достать плитку $1 \times 4$‍.‍ Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
Задача М92
Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом строго придерживаться такого распорядка: каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами и каждый пятый день решать задачи по математике. (В первый день Петя…
Задача М93
Каждое из чисел $x_1$‍,‍ ..., $x_n$‍‍ равно плюс или минус единице. Известно, что $$ x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0. $$ Докажите, что $n$‍‍ делится на 4.
Задача М94
Докажите, что не существует многогранника, у которого к каждой вершине и к каждой грани примыкает не менее чем по четыре ребра.
Задача М95
На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия $EF$‍‍ и опущен перпендикуляр $OK$‍‍ из точки $O$‍‍ пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стёрли. Как восстановить чертёж по сохранившимся отрезкам $EF$‍‍ и…
Задача М112
В таблице $m\times n$‍‍ записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Доказать, что…
Задача М113
Доказать, что для любого натурального $n$‍‍ найдётся число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на $2^n$‍.‍
Задача М114
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ $d$‍‍ оказывается, что $(a-b)(c-d)\lt0$‍,‍ то числа $b$‍‍ и $c$‍‍ можно поменять местами. Доказать, что эту операцию…
Задача М115
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Доказать, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю…
Задача М129
1. В ведро налили 12 л молока. Как, пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделить молоко на две равные части?
2. Решите общую задачу: при каких $a$‍‍ и $b$‍‍ можно разделить пополам…
Задача М133
[MISSING TEXT]
Задача М134
Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах $AB$‍,‍ $BC$‍‍ и $AC$‍‍ данного треугольника $ABC$‍?‍
Задача М173
В квадратной таблице $4 \times 4$‍‍ расставлены числа 1, 2, 3, $\ldots$‍,‍ 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом…
Задача М181
Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см? (Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на $90^\circ$‍‍ и $180^\circ$‍,‍ но ломать её нельзя.)
Задача М182
Докажите, что если
1. $a >0$‍,‍ $b>0$‍‍ и $c>0$‍,‍ то
  $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$‍.‍
2. $a >0$‍,‍ $b>0$‍,‍ $c>0$‍‍ и $d>0$‍,‍ то
Задача М188
Между некоторыми из $2n$‍‍ городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан не менее чем с $n$‍‍ другими (беспосадочными рейсами). Докажите, что даже если отменить любые $n-1$‍‍ рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой…
Задача М199
[MISSING TEXT]
Задача М206
Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа $n$‍,‍ взаимно простого с числом 10, в последовательности можно указать такую группу стоящих подряд цифр, что записываемое этими цифрами число делится на $n$‍.‍
Задача М208
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из вещественных чисел
$$ x_1, \ x_2, \ x_3, \ \ldots, \ x_{10} $$
равна 1. Какой
1. наибольшей,
2. наименьшей
может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10…
Задача М236
[MISSING TEXT]
Задача М238
[MISSING TEXT]
Задача М244
[MISSING TEXT]
Задача М246
На плоскости даны две прямые $m$‍‍ и $n$‍‍ и точка $O$‍.‍ Постройте треугольник, две высоты которого лежат на данных прямых $m$‍‍ и $n$‍,‍ а центр описанной окружности находится в точке $O$‍.‍
Задача М247
Квадрат $6 \times 6$‍‍ нужно заполнить 12 плитками, из которых $k$‍‍ имеют форму уголка, а остальные $12-k$‍‍ — прямоугольника (см. рис. 1). При каких $k$‍‍ это возможно?
Задача М253
[MISSING TEXT]
Задача М266
Дан выпуклый $n$‍‍-угольник.
1. Докажите, что если для каждой тройки последовательных вершин $n$‍‍-угольника построить окружность, проходящую через эти три вершины, и из $n$‍‍ полученных окружностей выбрать такую, у…
Задача М287
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, что любое натуральное число 1, 2, 3, $\ldots$‍‍ можно представить в виде разности двух чисел этой последовательности единственным способом?
Задача М340
[MISSING TEXT]
Задача М346
[MISSING TEXT]
Задача М355
[MISSING TEXT]
Задача М358
[MISSING TEXT]
Задача М412
[MISSING TEXT]
Задача М432
Существует ли полный квадрат, сумма цифр которого равна
1. 1977;
2. 1978?
3. Выясните, какие натуральные числа могут быть суммами цифр квадрата целого числа.
Задача М439
1. Докажите, что уравнение $$ ax^k+bx^l+cx^m=1 $$ (где $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — действительные, $k$‍,‍ $l$‍‍ и $m$‍‍ — натуральные числа) имеет не более трёх положительных корней.
2. Докажите,…
Задача М467
[MISSING TEXT]
Задача М487
[MISSING TEXT]
Задача М502
[MISSING TEXT]
Задача М509
Решите в натуральных числах уравнения:
1. $$2^x+1=3^y;$$
2. $$z^x+1=(z+1)^2;$$
3. $$z^x+1=(z+1)^y.$$
Задача М511
Внутри четырёхугольника $ABCD$‍‍ отмечена точка $M$‍‍ такая, что $ABMD$‍‍ — параллелограмм. Докажите, что если $\widehat{CBM}=\widehat{CDM}$‍,‍ то $\widehat{ACD}=\widehat{CDM}$‍.‍
Задача М526
[MISSING TEXT]
Задача М540
Международное общество состоит из представителей шести различных стран. Список членов общества состоит из 1978 фамилий, занумерованных числами 1, 2, $\ldots$‍,‍ 1978.

Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равняется сумме номеров двух членов из его…
Задача М548
[MISSING TEXT]

Лиманов Л. Г.‍43

Задачи по математике‍‍