«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что целые неотрицательные числа $x$, $y$ удовлетворяют уравнению $$ x^2-mxy+y^2=1 $$ (где $m$ — данное целое число, большее единицы) тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ — соседние члены…
Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размера $2 \times 2$ и $1 \times 4$. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку $2 \times 2$. Вместо неё удалось достать плитку $1 \times 4$. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом строго придерживаться такого распорядка: каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами и каждый пятый день решать задачи по математике. (В первый день Петя…
Каждое из чисел $x_1$, ..., $x_n$ равно плюс или минус единице. Известно, что $$ x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0. $$ Докажите, что $n$ делится на 4.
Докажите, что не существует многогранника, у которого к каждой вершине и к каждой грани примыкает не менее чем по четыре ребра.
На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия $EF$ и опущен перпендикуляр $OK$ из точки $O$ пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стёрли. Как восстановить чертёж по сохранившимся отрезкам $EF$ и…
В таблице $m\times n$ записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Доказать, что…
Доказать, что для любого натурального $n$ найдётся число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на $2^n$.
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел $a$, $b$, $c$, $d$ оказывается, что $(a-b)(c-d)\lt0$, то числа $b$ и $c$ можно поменять местами. Доказать, что эту операцию…
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Доказать, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю…
а) В ведро налили 12 л мoлока. Как, пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделить молоко на две равные части?
б)* Решите общую задачу: при каких $a$ и $b$ можно разделить пополам $(a+b)$ л молока, пользуясь лишь сосудами в…
Текст задачи готовится