В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ нашлась точка $O$, из которой все стороны видны под углом $60^\circ$. Докажите, что если $OA_1\gt OA_3\gt OA_5$ и $OA_2\gt OA_4\gt OA_6$, то $$
A_1A_2+A_3A_4+A_5A_6\lt A_2A_3+A_4A_5+A_6A_1.
$$
А. С. Меркурьев
Ленинградская городская математическая олимпиада (1987 год)
Отложим на сторонах угла величиной $60^\circ$ от его вершины $P$ отрезки $PB_i=OA_i$, $i=1$, 2, $\ldots$, 6, как показано на рисунке. Поскольку отрезки $B_1B_2$, $B_2B_3$, $\ldots$, $B_6B_1$ соответственно равны отрезкам $A_1A_2$, $A_2A_3$, $\ldots$, $A_6A_1$, достаточно доказать, что $$
B_1B_2+B_3B_4+B_5B_6 \lt B_2B_3+B_4B_5+B_6B_1.
$$
Это неравенство получается, если сложить 4 неравенства треугольника (см. рисунок):
$$\colsep{0pt}{\begin{array}{rcrcr}
B_1B_2&{}\lt{}&B_1C_1&{}+{}&C_1B_2,\\
B_3C_2&\lt&B_3C_1&+&C_1C_2,\\
C_2B_4&\lt&C_2C_3&+&C_3B_4,\\
B_5B_6&\lt&B_5C_3&+&C_3B_6,
\end{array}}$$
где $C_1$, $C_2$, $C_3$ — точки пересечения отрезка $B_1B_6$ с отрезками $B_2B_3$, $B_3B_4$ и $B_4B_5$. (Указанные отрезки пересекаются благодаря неравенствам, данным в условии. Например, из неравенств $PB_3\lt PB_1$ и $PB_6\lt PB_2$ следует, что точки $B_3$ и $P$ лежат по одну сторону от $B_1B_6$, а $B_2$ и $P$ — по разные, поэтому $B_3$ и $B_2$ лежат по разные стороны от $B_1B_6$, т. е. прямая $B_1B_6$ пересекает отрезок $B_2B_3$; аналогично доказывается, что прямая $B_2B_3$ пересекает отрезок $B_1B_6$, и, следовательно, отрезки $B_2B_3$ и $B_1B_6$ пересекаются.)
