«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Медиана $BK$ и биссектриса $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Докажите равенство $$ \dfrac{|PC|}{|PL|}-\dfrac{|AC|}{|BC|}=1. $$
Обозначим через $d_k$ количество таких домов в вашем городе, в которых живёт не меньше $k$ жителей $(d_1\ge d_2\ge d_3\ge \ldots)$, и через $c_m$ — количество жителей в $m$-м по величине населения доме $(c_1\ge c_2\ge c_3\ge \ldots)$. Докажите равенства
Докажите, что
Серёжа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тётю Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» — «Это очень просто, — отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь…
расположены $n$ точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше $n^2$.
В стране $N$ городов.
В треугольник $ABC$ вписан подобный ему треугольник $A_1B_1C_1$ (вершины $A_1$, $B_1$, $C_1$, углов, равных по величине $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$, лежат, соответственно, на отрезках $BC$,…