$M$ — множество точек на плоскости. Точка $O$ плоскости называется «почти центром симметрии» множества $M$, если из $M$ можно выбросить одну точку такую, что для оставшегося множества $O$ является центром симметрии в обычном смысле. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?
Конечное множество точек на плоскости может иметь 0, 1, 2, 3 «почти центров симметрии» (см. рисунок 1, а—г соответственно). Покажем, что больше трёх «почти центров симметрии» конечное множество $M$ на плоскости иметь не может.
Прежде всего заметим, что множество $M$ имеет конечное число «почти центров симметрии», поскольку ими могут быть только середины отрезков, соединяющих точки множества $M$. Выберем теперь такую прямую, при проекции на которую точки множества $M$ и его «почти центры симметрии» не сливаются. Поскольку при проекции на прямую центр симметрии множества точек переходит снова в центр симметрии, достаточно доказать наше утверждение для конечного множества точек, лежащих на одной прямой.
Рассмотрим множество точек на прямой с координатами $x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_n$. Если мы выбросим первую точку, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка с координатой $\dfrac{x_2+x_n}2$; если выбросим последнюю — то только точка с координатой $\dfrac{x_1+x_{n-1}}2$; наконец, если мы выбросим какую-нибудь не крайнюю точку, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка с координатой $\dfrac{x_1+x_n}2$ (см. рис. 2; на рисунке 2, г мы выбросили среднюю точку — центр симметрии оставшегося множества попадает в неё). Значит, конечное множество точек на прямой, а тем самым и любое конечное множество точек на плоскости, не может иметь больше трёх «почти центров симметрии».
