«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В последовательности $197523\ldots$ каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретятся ли в этой последовательности подряд
Точка $K$ — середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$, а точка $L$ делит диагональ $AC$ в отношении $3:1$ (рис. 1). Докажите, что угол $KLD$ — прямой.
Двое играют в такую игру. Первый загадывает два числа от 1 до 25, а второй должен их угадать. Он может назвать любые два числа от 1 до 25 и узнать у первого, сколько из названных им чисел — 0, 1 или 2 — совпадают с загаданными. За какое минимальное число вопросов он сможет наверняка определить…
В таблицу $10\times10$ записаны числа от 1 до 100 по порядку. Затем в каждой строке и в каждом столбце ровно у половины чисел поставлен знак минус. Докажите, что в получившейся таблице сумма всех чисел равна нулю.
Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из
был подобен данному?
С белого углового поля шахматной доски размерами $n\times m$ ($n$ и $m$ больше 1) начинает двигаться слон. Дойдя до края доски, слон поворачивает под прямым углом (рис. 2). Попав в угол, он останавливается.
Восстановите треугольник, если на плоскости отмечены три точки: $O$ — центр описанной окружности, $P$ — центр тяжести и $H$ — основание одной из высот этого треугольника.
Пусть $n$ — целое число, для которого $$ n\lt(45+\sqrt{1975})^{30}\lt n+1. $$ Докажите, что $n$ нечётно.
Докажите, что если $x+\dfrac1y=y+\dfrac1z=z+\dfrac1x$, то $x=y=z$ или $x^2y^2z^2=1$.
Про последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ известно, что $|a_1|= 1$ и $|a_{k+1}|=|a_k+1|$ при каждом $k=1$, 2, $\ldots$ Найдите наименьшее возможное значение суммы $|a_1+a_2+\ldots+a_n|$, если: