«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На плоскости расположены два выпуклых многоугольника $M_0$ и $M_1$. Обозначим через $M$ множество точек, в которые может попасть середина отрезка, один конец которого принадлежит $M_0$, второй — $M_1$. Докажите, что…
Можно ли составить куб размерами $k\times k\times k$ из белых и чёрных кубиков $1\times1\times1$ так, чтобы для каждого кубика ровно два из его соседей имели бы тот же цвет, что и он сам? (Два кубика считаются соседними, если они имеют общую грань.)
Три мухи ползают по сторонам треугольника $ABC$ так, что центр тяжести образуемого треугольника остаётся на одном месте. Докажите, что он совпадает с центром тяжести треугольника $ABC$, если известно, что одна из мух проползла по всей границе треугольника. (Центром…
Дан многочлен $P(x)$ с
Для каждого натурального числа $n$ через $a_n$ обозначим сумму цифр в…
Восстановите треугольник, если на плоскости отмечены три точки: $O$ — центр описанной окружности, $P$ — центр тяжести и $H$ — основание одной из высот этого треугольника.
Пусть $n$ — целое число, для которого $$ n\lt(45+\sqrt{1975})^{30}\lt n+1. $$ Докажите, что $n$ нечётно.
Докажите, что если $x+\dfrac1y=y+\dfrac1z=z+\dfrac1x$, то $x=y=z$ или $x^2y^2z^2=1$.
Про последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ известно, что $|a_1|= 1$ и $|a_{k+1}|=|a_k+1|$ при каждом $k=1$, 2, $\ldots$ Найдите наименьшее возможное значение суммы $|a_1+a_2+\ldots+a_n|$, если: