«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На прямоугольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (т. е. каждую клетку листа покрывают в точности две карточки).
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, где занимаются не менее $\dfrac{2}{3}$ учеников этого класса.
На сторонах выпуклого четырёхугольника площади $S$ вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырёхугольника площади $S_1$. Докажите, что
Пол комнаты, имеющий форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом $60^\circ$. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим…
Про функцию $f$, определённую на множестве всех пар неотрицательных целых чисел $(x;y)$, известно следующее:
для каждой пары…
Каждая сторона треугольника поделена на 3 равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна $S$.
В точках $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$, расположенных по окружности, расставляются в некотором порядке числа $1$, $2$, $\dots$, $n$.
Существует ли бесконечное множество натуральных чисел такое, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не являются степенью натурального числа ($a^k$, где $k \ge 2$)?
По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлениям. Докажите, что, как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.