«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями З см, 1 см и высотой 1 см, нельзя составить прямоугольник.
Будем говорить, что число обладает свойством $(K)$, если оно разлагается в произведение $K$ последовательных натуральных чисел, больших 1.
В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то…
Назовём пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.
Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разбить на а) два, б) три класса так, чтобы в один класс не попали два числа с разностью $10^m$ (ни при каком целом $m=0$, $\pm1$, $\pm2$, $\ldots$)?
Люда, Марина и Наташа нарисовали остроугольный треугольник $LMN$. Затем Люда построила свой треугольник, у которого длины двух сторон равны $|LM|$ и $|LN|$, а угол между ними на $60^\circ$ больше угла $L$ треугольника $LMN$.…
Обозначим через $S_n$ сумму первых $n$ простых чисел: $S_1 =2$, $S_2=2+3=5$, $S_3=2+3+5=10$, $S_4=17$ и т. д. Докажите, что при любом $n$ между $S_n$ и $S_{n+1}$ встречается точный квадрат.
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{array}{l} 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=4\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=5\left(z+\dfrac{1}{z}\right),\\ xy+yz+zx=1. \end{array}\right.$$
Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют новый квадрат (рис. 1).